Prueba incorrecta usando inducción matemática

Question

Traté equivocadamente de probar la secuencia $a_n=\frac{n}{2^n}$esta incrementando. (¡Es obvio que la secuencia está disminuyendo, pero al principio no me di cuenta y estaba demostrando que está aumentando por error!)

Entonces usé la inducción matemática para demostrar $a_{n}\leq a_{n+1}$:

$n=1 : a_1=\frac{1}{2} \leq a_2=\frac{1}{2}$

Asumir $n=k : a_k \leq a_{k+1} $

Ahora probamos por $n=k+1 : a_{k+1} \leq a_{k+2}$ o $\frac{k+1}{2^{k+1}} \leq \frac{k+2}{2^{k+2}}$

Asumimos $a_k \leq a_{k+1} \rightarrow \frac{k}{2^k} \leq \frac{k+1}{2^{k+1}}$

Entonces $k (2^{k+1}) \leq 2^k (k+1)$ multiplica ambos lado por $2$ y obtenemos: $k(2^{k+2}) \leq 2^{k+1} (k+1)$ Luego añade $2^{k+2}$ a los lados: $(k+1) 2^{k+2}\leq 2^{k+1}(k+3) \leq 2^{k+1}(k+2)$ Por lo tanto: $\frac{k+1}{2^{k+1}} \leq \frac{k+2}{2^{k+2}} \rightarrow a_{k+1} \leq a_{k+2}$

Entonces probé la secuencia $a_n$está aumentando con la inducción matemática Pero, como dije antes, está mal y en realidad está disminuyendo. Pero, ¿por qué este método de "inducción matemática" funciona perfectamente bien aquí? Estoy seguro de que hice exactamente los pasos para eso (primero probé que funciona para$n=1$ luego asumió que funciona para $n=k$ y concluir que funciona para $n=k+1$) Es realmente extraño para mí ver cómo la inducción matemática confirma que la secuencia está aumentando. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Answer 1

Hay un error en tu argumento. Tu escribiste:

$$2^{k+1}(k+3)\leq 2^{k+1}(k+2)$$

Eso es falso. De hecho$2^{k+1}(k+2)<2^{k+1}(k+3)$. Así que aquí es donde su argumento inductivo se rompe y no prueba el resultado.