Restricción de una cubierta ramificada a su lugar de ramificación

Question

Supongamos que tenemos una superficie lisa, compacta y compleja.$X$, y un divisor suave e irreducible$B \subset X$. Dejar$G$ser un grupo finito. Para cada epimorfismo de grupo$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G,$$por el teorema de extensión de Grauert-Remmert existe una superficie compleja lisa$Y$y una portada de Galois$$f \colon Y \to X,$$con el grupo Galois$G$y ramificada a lo sumo sobre$B$.

Ya que$B$es suave, fragua$R =f^{-1}(B) \subset Y$vemos que la restricción$$f|_R \colon R \to B$$es una portada de Galois sin ramificar, con grupo de Galois$H=G/G_R$, dónde$G_R$es el estabilizador de la curva$R$. Tal cobertura de Galois debe corresponder a su vez a un homomorfismo de grupo$$\psi \colon \pi_1(B) \to H,$$que es sobreyectiva si y solo si$R$es irreductible.

Pregunta. Cómo podemos recuperar, de forma puramente algebraica, el mapa$\psi$de$\varphi$y de los homomorfismos (inducidos por los mapas de inclusión)$$i_* \colon \pi_1(X-B) \to \pi_1(X), \quad j_* \colon \pi_1(B) \to \pi_1(X)?$$

Aquí "de una manera puramente algebraica" significa (por ejemplo) que, si he implementado los tres homomorfismos$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$,$i_*$y$j_*$en un software como GAP4, debería haber, al menos en principio, una secuencia finita de comandos que proporcionen$\psi \colon \pi_1(B) \to H$.

Espero que esto sea posible, ya que$\varphi$determina completamente$f \colon Y \to X$, y así determina completamente la restricción$f|_R \colon R \to B$.

Answer 1

Es útil reformular la pregunta en su configuración de topología diferencial natural, dejando de lado las consideraciones geométricas innecesarias. También es natural considerar el análogo del problema en todas las dimensiones.

Así que supongamos que se nos da un cerrado, orientable, conectado, suave$n$-colector$X$, y un cerrado, orientable, conectado, suave, codimensionado-$2$subvariedad$B \subset X$. Adoptamos la notación básica utilizada en la pregunta. Dejar$G$ser un grupo finito. Para cada epimorfismo de grupo$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$$hay un cerrado, orientable, conexo, liso$n$-colector$Y$y un mapa de cobertura ramificado de Galois (o "regular")$$f \colon Y \to X,$$con grupo de transformación de cubierta$G$que se ramifica a lo sumo sobre$B$.

Ya que$B$es suave, fragua$R =f^{-1}(B) \subset Y$vemos que la restricción$$f|_R \colon R \to B$$es una cubierta sin ramificar. La pregunta busca una descripción explícita de este mapa de cobertura.

Entre las cuestiones que surgen al tratar de dar una descripción tan explícita están que$R$no necesita estar conectado, que$f|_R:R \to B$no necesita ser una cubierta de Galois, y eso$B$y$X-B$no puede tener el mismo punto base.

El dato adicional necesario para aclarar las cosas es el paquete normal del conjunto de ramas y su límite, un paquete circular sobre$B$. Con esta información adicional, se puede responder efectivamente a la pregunta. Lo haremos desde este punto de vista

• Caracterizar cuando$R$está conectado;
• Caracterizar cuando$f$en realidad está ramificado;
• Caracterizar cuando$R \to B$es Galois;
• Demuestre que en cada componente de$R$la restricción de la cubierta ramificada es de hecho siempre una cubierta de Galois, con un grupo de Galois explícito.

Dejar$N$denotan un pequeño vecindario tubular de$B$en$X$, que tiene la estructura de un$2$-paquete de disco sobre$B$. Dejar$D$denote una fibra de 2 discos, con límite$C = D \cap \partial N$, un círculo de enlace a$B$. Después$\partial N$es un paquete circular sobre$B$, con fibra típica$C$.

Este paquete circular está determinado por su clase de Euler en$H^2(B;\mathbb{Z})$y determina una secuencia exacta de grupos de homotopía (en la que suprimimos la mención de los puntos base requeridos)$$ 1 \to \pi_2(\partial N) \to \pi_2(B) \to \pi_1(C) \to \pi_1(\partial N) \to \pi_1(B)\to 1. $$La imagen de$\pi_1(C)$en$\pi_1(\partial N)$se encuentra en el centro debido a nuestra suposición de orientabilidad. El único caso en el rango de dimensiones$n\leq 4$que$\pi_2(B)\neq 1$es cuando$n=4$y$B=S^2$. En todos los demás casos de baja dimensión se reduce a una extensión central de$\pi_1(B)$por$\mathbb{Z}$.

En general, la afirmación de que$R$está conectado es lo mismo que requerir que$f^{-1}(\partial N)$estar conectado. Y eso se traduce en el homomorfismo$$ \varphi j_*:\pi_1(\partial N) \to G $$siendo sobreyectiva, donde$j:\partial N \to X-B$es la inclusión.

La condición de que ocurra la ramificación real se traduce en la condición de que el homomorfismo$$ \varphi i_*:\pi_1(C) \to G $$no es trivial, donde$i:C \to X-B$es la inclusión.

En general la imagen de$\varphi j_*:\pi_1(\partial N)\to G$da el grupo de transformaciones de la cubierta en cualquiera de los componentes de la ruta de la imagen previa del paquete circular$\partial N$en$Y$. De ello se deduce que para cada componente$R_k$de la pre-imagen del conjunto de ramas, la proyección$R_k\to B$es un revestimiento de Galois con un grupo de transformaciones de cubierta isomórficas a$$ \varphi j_*(\pi_1(\partial N))/ \varphi i_*(\pi_1(C)). $$

los componentes de$R$se permutan transitivamente por la acción de$G$en$Y$. La ramificación completa que cubre$R\to B$es el mapa del cociente para la acción de$G$prohibido para$R$. la cubierta$R\to B$será Galois si y sólo si la imagen$\varphi i_*(\pi_1(C))$es un subgrupo normal de$G$, en cuyo caso el conjunto del revestimiento es$G/ \varphi i_*(\pi_1(C))$.

Tenga en cuenta, por cierto, que desde la imagen de$\pi_1(C)$es central en$\pi_1(\partial N)$, se deduce que si hay ramificación no trivial y$G$tiene un centro trivial, entonces la imagen previa del conjunto de ramas no se puede conectar.

Answer 2

Aquí hay una versión algebraica de la respuesta de Allan Edmonds que complementa mi publicación original (ver más abajo).

Dejar$\eta\in B$sea ​​el punto genérico, y sea$A$ser el anillo local completo de$\eta\in X$, asi que$A$es un anillo de valoración discreto completo; dejar$\mathfrak{m}$sea ​​su ideal máximo,$k = A/\mathfrak{m}$su campo residual (es decir, el campo funcional de$B$), y$K$sea ​​su campo fraccionario. Ya que$R\rightarrow B$es etale y$B$es suave irreductible,$R$también es suave, por lo que sus componentes conexas o irreducibles están en biyección con sus puntos genéricos. Dejar$\epsilon\in R$ser un punto genérico con un punto geométrico asociado$\overline{\epsilon}$, y deja$R_1\subset R$sea ​​el componente correspondiente. Dejar$L$Sea el campo fraccionario del anillo local completo en$\epsilon$, después$Gal(L/K) = G_\epsilon := Stab_G(\epsilon)$y el grupo de inercia de$L/K$es$G_{\overline{\epsilon}} := Stab_G(\overline{\epsilon})$. De ello se deduce que el$R_1/B$es Galois con el grupo Galois$G_\epsilon/G_{\overline{\epsilon}}$, que está de acuerdo con mi publicación original (abajo).

Por el teorema de la estructura de Cohen, podemos identificar$K = k((t))$. El análogo a la secuencia exacta de homotopía de Allan Edmonds es entonces la secuencia exacta corta de grupos fundamentales etale

$$1\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }\overline{k}((t)))\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }k((t)))\longrightarrow\pi_1(\text{Spec }k)\longrightarrow 1$$(los puntos base están dados por$\overline{k((t))}$), y desde$k$contiene todas las raíces de la unidad, esta es una extensión central (lo que concuerda con la observación de Allan Edmond).

El análogo a los mapas de Allan "$i_*$" y "$j_*$" se puede dar de la siguiente manera: Sea$K' = \overline{k}((t))$, entonces tenemos mapas

$$\text{Spec }K'\longrightarrow \text{Spec }K\longrightarrow X - B$$El mapa inducido$\pi_1(\text{Spec }K')\rightarrow \pi_1(X-B)$(con punto base el punto geométrico dado por$\overline{k((t))}$) es el análogo de Allan's "$i_*$", y el mapa$\pi_1(\text{Spec }K)\rightarrow \pi_1(X-B)$es el análogo de Allan's "$j_*$", y si$\varphi : \pi_1(X-B)\rightarrow G$denota la representación monodrómica, entonces de nuevo tenemos que cada componente de$R$¿Se acabó Galois?$B$con el grupo Galois$$\varphi j_*\pi_1(\text{Spec }K)/\varphi i_*\pi_1(\text{Spec }K')$$En particular, el grupo de Galois de cada componente de$R$es un subgrupo del cociente el centralizador de un grupo de inercia por ese grupo de inercia.

COMENZAR PUBLICACIÓN ORIGINAL:

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para ser un comentario. Se pueden obtener algunas restricciones en la estructura de$R\rightarrow B$como sigue:

En términos de la correspondencia de Galois, si$\pi := \pi_1(B)$,$r\in R$un punto, y$F$la fibra de$R/B$que contiene$r\in R$, después$F$está en biyección con$G/G_r$, y tienes acciones conmutativas de$\pi$y$G$en$F$. La imagen de$\pi$en$Sym(F)$aterriza así en el centralizador de la$G$-acción. Además, desde la$G$-la acción conmuta con el$\pi$-acción,$G$actúa (transitivamente) sobre el$\pi$-órbitas de$F$, y además si$G_{\pi\cdot r}$denota el subgrupo de$G$preservando la órbita$\pi\cdot r$, después$G_{\pi\cdot r}$actúa transitivamente sobre$\pi\cdot r$, y dado que también conmuta con el$\pi$-acción,$G_r$actúa trivialmente sobre$\pi\cdot r$. De este modo$G_r$es normal por dentro$G_{\pi\cdot r}$, y los componentes conexos de$R$son todas isomorfas, siendo cada componente Galois sobre$B$con el grupo Galois$G_{\pi\cdot r}/G_r$, que es naturalmente un subgrupo de$N_G(G_r)/G_r$dónde$N_G(G_r)$es el normalizador de$G_r$en$G$.

En particular, por ejemplo, si$G$es sencillo y$G \ne G_r$después$R$no se puede conectar, por lo tanto, por ejemplo$B$no puede ser suficiente (por los comentarios de Remy).

También estaría muy interesado si hay más que uno podría decir sobre esto.