Suma de número triangular

Question

Bueno, conocidos números triangulares $$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, \cdots$$Estoy buscando diferentes métodos para obtener la suma de esos números. Sé que podemos escribirlo como se muestra a continuación$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\sum\limits_{k=1}^i i\\= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2}=\\ \frac 12 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (i+i^2)=\\ \frac12 (\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})=\\ \frac{n(n+1)(n+2)}3$$ Sé que podemos mostrarlo $\mathit{mathematical} \space \mathscr{Induction}$¿Pero existen más métodos para demostrar este hecho? Como ejemplo, una prueba sin una palabra, o algo más. Gracias de antemano por cualquier sugerencia, solución o ideas diferentes. Además, estoy buscando detalles sobre la solución heurística.

Answer 1

Usando la identidad del palo de hockey :$$\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\sum_{k=1}^{n} {k +1 \choose 2}=\sum_{k=2}^{n+1} {k \choose 2}={n+2 \choose 3}$$

Answer 2

Hay algunas "Prueba sin palabras" de esto en Prueba sin palabras de Nelson . Uno es el siguiente:

Considere el triangulo

 1
 1 2
 1 2 3
 : ...
 1 2 3 ... n-1
 1 2 3 ... n-1 n

y sus rotaciones

 1                      n
 2 1                    n-1 n-1 
 3 2 1                  n-2 n-2 n-2 
 : ...                  : ...
 n-1 n-2 ... 2 1        2 2 2 2 ... 2 2
 n  n-1 n-2 ... 2 1     1 1 1 1 ... 1 1 1

Resumiendo cada entrada en los tres triángulos obtenemos:

n+2
n+2 n+2
n+2 n+2 n+2
: ...
n+2 n+2 n+2 ... n+2

Por lo tanto $T_n (n+2) = 3\sum T_n$.

Así $\sum T_n = \dfrac {n(n+1)(n+2)}6$.