Teorema binomial vs probabilidad de una secuencia

Question

En el libro de Daniel Kahneman "Thinking, Fast and Slow", ofrece el siguiente ejemplo de cómo nuestras mentes identifican patrones causales a partir del azar.

Un hospital tiene 6 bebés nacidos en un día. Sabemos que los nacimientos masculinos y femeninos son igualmente probables y los nacimientos son independientes. ¿Son estas 3 secuencias igualmente probables?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitivamente, no lo creemos, sin embargo, dado que los eventos son independientes, entonces las 3 secuencias tienen la misma probabilidad (él no dice, pero supongo que esto es $0.5^6$).

Mi pregunta es, ¿cómo se reconcilia esto con el hecho de que la probabilidad de tener 6 niñas de 6 nacimientos del binomio allí es mucho menos probable que la de 3 niñas (0.015625 vs 0.3125)? Si la pregunta fuera acerca de diferentes secuencias de la misma proporción de nacimientos G / B, entonces todos tendrían las mismas posibilidades, pero no puedo ver cómo es cierto en su forma actual.

Answer 1

Mi pregunta es, ¿cómo se reconcilia esto con el hecho de que la probabilidad de tener 6 niñas de 6 nacimientos del binomio allí es mucho menos probable que la de 3 niñas (0.015625 vs 0.3125)?

La probabilidad de 3 niñas es la probabilidad de bbbggg, bbgbgg, bbggbg, bbgggb, bgbbgg, bgbgbg, bgbggb, gbbbgg, gbbgbg, gbbggb, bgggbb, bggbgb, bggbbg, gbggbb, gbgbgb, gbgbbgbb, gbgbgb, gbgbbgbb, gbgbgb, gbgbbgbb Cada uno de estos 20 tiene individualmente una probabilidad de 0.015625, y para obtener cualquiera de estos tiene una probabilidad de 0.3125.

¿Son estas 3 secuencias igualmente probables?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitivamente no lo creemos, sin embargo ...

Puedo ver dos razones por las que hacemos que estas evaluaciones de GGGGGG y BGBBGB sean diferentes:

Microestados y macroestados

Hay muchas más formas de conseguir 3 chicas además de la secuencia BGBBGB.

Para obtener esta secuencia particular, la secuencia BGBBGB es tan probable como obtener la secuencia GGGGGGG. Pero cuando se compara el número total de niñas y niños, ¿debería preocuparse por el orden específico?

A menudo, uno no está interesado en los detalles particulares, sino en los números globales. Por ejemplo, uno está interesado en la probabilidad de un número total particular de niños y niñas, y no en un orden específico.

Estas distinciones entre microestados y macroestados ocurren muy a menudo en física. Por ejemplo, si se pincha un neumático, es muy probable que pierda presión y se vacíe. Sin embargo, microscópicamente un estado particular de deflación podría ser tan probable como un estado particular de estar lleno.

Probabilidad inversa

Indirectamente, cuando estamos 'analizando' una secuencia binaria particular, entonces no solo estamos mirando la probabilidad de esa secuencia, sino que miramos la probabilidad relativa . Esto se debe a que a menudo no estamos interesados ​​directamente en la probabilidad de la observación (no en primer lugar y solo indirectamente) sino que nos interesa lo que dice la observación sobre los parámetros desconocidos subyacentes. Y las observaciones con igual probabilidad (dada una hipótesis particular) pueden contar una historia diferente (porque no necesariamente tienen la misma probabilidad para otras hipótesis). No se trata de la diferencia de probabilidad para diferentes observaciones, sino de la diferencia de probabilidad (o la razón de probabilidad ) para diferentes valores de parámetros.

Si los parámetros de probabilidad para niños y niñas son iguales $p_{boy}=p_{girl}=0.5$entonces la observación GGGGGG no es menos o más improbable que la observación BGBBGB. Sin embargo, la observación GGGGGG todavía se destaca como una observación especial porque es relativamente más probable cuando$p_{girl}$es más alto. La observación GGGGGG es más probable cuando$p_{girl}>p_{boy}$ que cuando $p_{girl}=p_{boy}$, por lo que lo destacamos como un caso especial.

Entonces, al final, comparamos / evaluamos con mayor frecuencia esas secuencias por medio de razones de verosimilitud.

A continuación se muestra un ejemplo de probabilidad para el caso de una muestra ordenada de 5 ('theta' es aquí la probabilidad de una 'b'). Puede ver que solo el número total es relevante (y no el orden) para la probabilidad (esto se relaciona con la suficiencia ).

observation        probability of observing given theta

bbbbb              (1-theta)^0(theta)^5

rbbbb              (1-theta)^1(theta)^4
brbbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbrbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbrb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbbr              (1-theta)^1(theta)^4

rrbbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbrbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbrb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbbr              (1-theta)^2(theta)^3
brrbb              (1-theta)^2(theta)^3
brbrb              (1-theta)^2(theta)^3
brbbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbrrb              (1-theta)^2(theta)^3
bbrbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbbrr              (1-theta)^2(theta)^3

rrrbb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbrb              (1-theta)^3(theta)^2
rbrrb              (1-theta)^3(theta)^2
brrrb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbrbr              (1-theta)^3(theta)^2
brrbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbbrr              (1-theta)^3(theta)^2
brbrr              (1-theta)^3(theta)^2
bbrrr              (1-theta)^3(theta)^2

brrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rbrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrbrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrbr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrrb              (1-theta)^4(theta)^1

rrrrr              (1-theta)^5(theta)^0