Teorema de Cramer-Wold.

Question

Teorema (dispositivo de Cramer-Wold): La distribución de un$n$-vector$X$está completamente determinado por el conjunto de todas las distribuciones unidimensionales de combinaciones lineales$t^TX$, donde$t$rangos sobre todo fijo$n$-vectores. $$$$ Prueba. $Y := t^TX$ tiene función característica: $$\phi_Y(s) := E[e^{isY}] = E[e^{ist^TX}]$$ Si conocemos la distribución de cada $ Y$ , sabemos que es CF $\phi_Y(s)$ . En particular, tomando $s = 1$ , sabemos $E[e^{ist^TX}]$ . Pero este es el CF de $X = (X_1,\ldots,X_n)^T$ evaluado en $t = (t_1,\ldots,t_n)^T$ . Pero esto determina la distribución de $X.$

Mis preguntas:

1. Si $s = 1$ , ¿la demostración pierde generalidad? ¿Por qué no?
2. Mi interpretación de la prueba es que si la combinación lineal del vector y el vector tienen la misma función característica, entonces su distribución es la misma. ¿Es correcta esta interpretación? 3) ¿Qué significa 'completamente determinado' en el teorema?

Answer 1

• No entiendo a qué te refieres con "perder generalidad" en tu primera pregunta. La única "generalidad" en la prueba que me parece de alguna importancia es que debe funcionar para cualquier$\ n$-vector y para cualquier$\ n\ $, lo cual hace. Poniendo$\ s=1\ $es simplemente un paso en la prueba, un paso que puede tomar legítimamente independientemente de cuáles sean los valores de$\ n\ $y$\ X\ $son, por lo que no les impone ninguna restricción.

• Un vector no es lo mismo que una combinación lineal de sus entradas (a menos que el vector,$\ X\ $es$1$-dimensional y la combinación lineal es$\ 1\cdot X\ $), que debe ser un escalar. Entonces, ni la distribución ni la función característica de un vector aleatorio pueden ser las mismas que las de una combinación lineal de las entradas de ese vector aleatorio. La distribución de un azar$\ n$-el vector as como su funcin caracterstica sern funciones de$\ n\ $variables, mientras que tanto la distribución como la función característica de cualquier combinación lineal particular de las entradas del vector aleatorio serán funciones de una sola variable.

  El punto clave en el dispositivo de Cramer-Wold es que debe conocer la distribución unidimensional no solo de alguna combinación lineal particular de las entradas del vector aleatorio, sino de cada una de esas combinaciones lineales, y esto le permite deducir la distribución aleatoria . la distribución del vector, una función de muchas variables, de esa familia infinita de funciones de una sola variable.