Transformación unitaria cuántica

Question

En mecánica cuántica, sabemos $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

pero por que es $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Eso significa $UHU^\dagger = H$? Yo creo que$UU^\dagger H = H$, pero ¿por qué podemos cambiar el orden de las matrices aquí?

Answer 1

Estás pensando demasiado en esto, asumiendo $U$ es unitario:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ no necesita ser el operador de evolución del tiempo y no necesita conmutar con $H$para que esto funcione, puede ser cualquier unitario. Esto solo dice que si escribes$\psi$en otra base entonces evoluciona con el hamiltoniano escrito en la nueva base. (O, de manera equivalente, que un vector girado evoluciona con el hamiltoniano girado).

Answer 2

1. Si el hamiltoniano $\hat{H}$ no depende del tiempo, y $U$ se supone que es el operador de evolución temporal, entonces $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ que conmuta$^1$ con $\hat{H}$, así que eso $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cf. Pregunta de OP.

2. Si el hamiltoniano $\hat{H}$dependen del tiempo, entonces eqs. (A) y (B) necesitan ser modificados, cf. por ejemplo, esta publicación Phys.SE.

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$^1$ Una función $f(\hat{H})$ de $\hat{H}$ viaja con $\hat{H}$, cf. por ejemplo, esto y este Phys.SE posts.

Answer 3

user2723984 es correcto. Sin embargo, la segunda parte de su pregunta no está resuelta: si el hamiltoniano se conmuta consigo mismo en diferentes momentos, entonces el único operador en$U$ es $H$ y como $H$ conmuta consigo mismo, el orden de los operadores puede cambiarse.