Una identidad en coeficientes binomiales

Question

He realizado algunos experimentos con Magma y creo que esto es cierto: si $p$ es un número primo y $k, a \geq 0$ son enteros entonces

$${kp \choose ap} \equiv {k \choose a} \mod p^2.$$

¿Alguien puede pensar en cómo probar esto? Aquí se da una prueba combinatoria en un comentario , pero tengo curiosidad por saber si hay una prueba algebraica.

Sé cómo demostrar la congruencia mod $p$: se sigue usando el teorema del binomio sobre la identidad $$(1+x)^{kp} = (1+ x^p)^k$$ en $\mathbb{F}_p[x]$, que a su vez es cierto por Frobenius.

Answer 1

Ok, aquí está (para $p^3$, un caso aún más fuerte):

Para esto, usaré este bonito lema:

por $n\in\mathbb{N}$ y $p\in\mathbb{P}$, $p>3$: $$\binom{np-1}{p-1}\equiv 1\pmod{p^3}$$

$$\binom{pk}{pa}-\binom{k}{a}=\frac{pk(pk-1)...(pk-pa+1)}{(pa)!}-\frac{k(k-1)...(k-a+1)}{a!}=\binom{k}{a}\Bigg(\frac{\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}}{\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}}-1\Bigg)$$

Dejar $$c=\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}$$

Entonces tenemos

$$\binom{pk}{pa}-\binom{k}{a}=\frac{\binom{k}{a}}{c}\Bigg(\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}-\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\Bigg)$$

Usando nuestro lema, la demostración está completa, porque

$$\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}-\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\equiv1-1\equiv0\pmod{p^3}$$

y

$$c=\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\equiv 1\pmod{p^3}$$ entonces $c$ no es divisible por $p$.

Así, $$\binom{pk}{pa}\equiv\binom{k}{a}\pmod{p^3}$$

Para obtener más información, consulte Congruencias de tipos de Ljunggren .