Una identidad para Lambert $W$ función

Question

Expresando la integral en Una identidad integral en términos de residuos, llegamos a la siguiente supuesta identidad:$$\sum_{k=-\infty}^\infty\frac1{1 + W_k(x)}=\frac12$$ para todos $x\in(-1/e,0)$, dónde $W_k$ es el $k$th rama del Lambert$W$función .

¿Cómo se puede probar esto?

Answer 1

Esta identidad ahora está establecida, ya que ahora se prueba una identidad integral citada en el post anterior.