Una propiedad de un primer espacio contable

Question

Tengo problemas para resolver el ejercicio 4 del capítulo 2, sección 4 de Introducción a la topología , Gamelin y Greene, 2do.

Supongamos un espacio topológico $X$satisface el primer axioma de contabilidad , o es primero contable , es decir, para cada$x\in X$, existe una secuencia de barrios abiertos $\{ U_n\}$ de $x$ tal que cada barrio de $x$ incluye uno de los $U_n$s.

Demuestre las siguientes afirmaciones:

(c) En un primer espacio contable $X$, cualquier punto adherente a un conjunto $S$ es un límite de una secuencia en $S$.

Los autores sugieren que porque $S$ cumple cada uno $U_n$, solo elige cualquiera $s_n\in U_n \cap S$para cada n. Entonces$\{s_n\}$ converge a $x$.

No entiendo la última parte que "$\{s_n\}$ converge a $x$".

A mí me parece razonable que para cualquier barrio abierto $V$ de $x$, hay algunos $U_k\subset V$ así $s_k \in V$. Pero decir eso$\{s_n\}$ converge a $x$, es necesario demostrar que existen algunos $N$ tal que si $n\geq N$ entonces $s_n \in V$. No tengo forma de mostrar la existencia de tales$N$.

Answer 1

Si $\{U_n\}_{n\in\omega}$ es una base local abierta para un punto $x$ siempre puedes suponer que WLOG $U_{n+1}\subseteq U_n$ (Tu solo defines $V_n:=\cap_{i\leq n}U_n$, entonces $\{V_n\}_{n\in\omega}$ es también una base local abierta).

Tenga en cuenta que bajo esta suposición obtiene $s_n\in U_N$ para cada $n\geq N$.

Answer 2

Con el comentario de Hartley, podría ir por este camino.

Arreglar un arbitrario $s_1 \in U_1 \cap S$.

Habiendo elegido $s_1, s_2, \dots, s_{n-1}$, escoger $s_n \in (\cap_{k=1}^{n} U_k)\cap S$. Porque$\cap_{k=1}^{n} U_k$ es un barrio abierto de $x$ existe algo $U_\alpha \subset \cap_{k=1}^{n} U_k$. Elija cualquiera$s_n \in U_\alpha \cap S$. Entonces$s_n \in (\cap_{k=1}^{n} U_k)\cap S$.

Arreglar un vecindario $V$ de $x$. Entonces, por la definición del primer axioma de contabilidad , existe$U_m \subset V$ para algunos $m$. Si$n\geq m$, $s_n \in S_m \subset V$.