Una tarea sobre continuidad y límite

Question

Realmente no sé cómo hacer un buen título para una pregunta de tarea.

Mi problema es el problema 29, sección 1.1, capítulo 1 del Análisis numérico de Burden & Faires (noveno) . Esta es una copia en PDF de trabajo .

Dejar $ f \in C [a, b]$, $ p \in (a, b) $ y $ f(p) \neq 0 $.

Muestra que un $ \delta > 0 $ existir con $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in [p - \delta, p + \delta]$, con $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $.

Tengo el manual de solución para la octava edición, que es el siguiente:

$ f $ es continuo en $ p $y $ f(p) \neq 0 $, allí existe $ \delta > 0 $ con:

$$ |f(x) - f(p)| < \dfrac{|f(p)|}{2} \tag{1}\label{1} $$

para $ |x - p| < \delta $ y $ a < x < b $. nos limitamos $ \delta $ de modo que $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $.

Estoy luchando por entender la parte restringida y la desigualdad$ \ref{1} $.

1. Pensé que tenemos que probar

   Allí existe $ \delta $ tal que satisfaga:

   1. $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $y
   2. $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in [p - \delta, p + \delta]$

   ¿Cómo puede la solución declarar rotundamente que 1. es cierto?

2. ¿Cómo se me ocurre $ \dfrac{f(p)}{2} $?

   Entiendo que están usando la definición de límite (dada en el libro):

   Una función tiene el límite $ L $ a $ x_0 $ si, dado alguno $ \varepsilon > 0 $, existe un real $ \delta > 0 $ tal que:

   $$ |f(x) - L| < \varepsilon \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $$

   Pero por que eligen $ \varepsilon = \dfrac{|f(p)|}{2}$? Del resto de la solución, creo que cualquier$ \varepsilon < |f(p)| $lo haré. Este es el resto:

   $$ f(p) - \varepsilon < f(x) < f(p) + \varepsilon $$

   1. Si $ f(p) < 0 $, entonces $ f(x) < f(p) + |f(p)| = 0 $
   2. Si $ f(p) > 0 $, entonces $ f(x) > f(p) - |f(p)| = 0 $

   En ambos casos, $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $

Gracias por ayudarme.

Answer 1

No necesitas probar eso $[p-\delta,p+\delta]\subset [a,b]$ ya que solo hay dos opciones:

(1) $[p-\delta,p+\delta]\subset [a,b]$, entonces hemos terminado.

(2) $[p-\delta,p+\delta]$ no está dentro $[a,b]$. Entonces, dado que la propiedad es válida para cada$x\in[p-\delta,p+\delta]$, ciertamente es válido para cualquier $x\in [p-\delta_{1},p+\delta_{1}]$ dónde $0<\delta_{1}<\delta$. Elegir$\delta_{1}$ de modo que $[p-\delta_{1},p+\delta_{1}]$ pertenece a $[a,b]$ hace que la afirmación sea verdadera.

(Una elección explícita de este $\delta_{1}$, en caso $[p-\delta,p+\delta]$ no está dentro $[a,b]$, es $\delta_{1}=\min\{\frac{b-p}{2},\frac{p-a}{2}\}$).

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$\dfrac{|f(p)|}{2}$ es la mitad de la distancia entre $f(p)$ y $0$. Es un buen truco obtener una medida de distancia entre dos objetos que sea menor que la distancia exacta entre ellos. Puedes elegir cualquier$\varepsilon<|f(p)|$ como usted dice, pero es "innecesariamente" preciso.

Por innecesario me refiero a algo como:

Supongamos que deseamos demostrar que usted y yo no somos la misma persona, ambos lo sabemos, ya que (por el bien de la discusión) estamos a 500 metros de distancia: Entonces digo que "porque hay al menos 250 metros entre nosotros, por lo tanto, no somos la misma persona". Dices: "Estamos separados por 0,0000000001 milímetros, por lo tanto, no somos la misma persona".

Ambos tenemos razón, pero en este argumento, al igual que en la pregunta, solo es importante que exista una distancia distinta de cero entre nosotros ($f(p)$ y $0$ en la pregunta) y no qué distancia mínima debe existir para que esto sea cierto.