Variedad compleja definida sobre $\mathbb{Q}$

Question

Si consideramos variedades proyectivas complejas, a definir sobre $\mathbb{Q}$ significa que hay una incrustación proyectiva cuya imagen es el lugar de fuga de un sistema polinomial con coeficientes en $\mathbb{Q}$.

Si consideramos variedades complejas cerradas, no hay un espacio ambiental obvio.

Sin embargo, podríamos requerir que haya un número entero positivo $n$ y una elección de

• para cualquier $1\leq i\leq n$, conjuntos abiertos $U_i\subset M$
• para cualquier $1\leq i<j\leq n$ tal que $U_i\cap U_j\neq \emptyset$, puntos $p_{i, j}\in U_i\cap U_j$
• para cualquier $1\leq i \leq n$, incrustaciones holomorfas $\phi_i:U_i\to \mathbb{C}^{d}$ tal que para cualquier $i< j \leq n$ con $U_i\cap U_j\neq \emptyset$ los mapas de transición $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ son proporciones de dos funciones holomorfas $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ cada uno con series de Taylor con coeficientes en $\mathbb{Q}$ alrededor $p_{i, j}$ que convergen en todos $\phi_i(U_i\cap U_j)$?

¿Se ha estudiado esta noción? ¿Hay un colector complejo cerrado que no esté en la clase Fujiki?$\mathcal{C}$ satisfaciendo esta condición?

Answer 1

Tenga en cuenta que esta es una respuesta correcta a la pregunta original, por lo que la dejaré aquí, aunque la pregunta ahora se ha cambiado. (La pregunta original se puede recuperar volviendo a las versiones anteriores).

De hecho, cada variedad compleja tiene ese atlas.

Dejar $(M,J)$ ser un complejo (de dimensión finita) $n$-manifold y dejar $\mathscr{U}$ ser una tapa abierta de $M$con las propiedades que (i) para cada$U\in\mathscr{U}$, hay un $J$-tabla holomorfa $\zeta:U\to\mathbb{C}^n$, y (ii) Para cada$U\in\mathscr{U}$ hay un punto $p\in U$ que no miente en ninguna $V\in\mathscr{U}$ otro que $U$. (Usando la paracompactancia, no es difícil construir un gráfico de este tipo). Luego, eligiendo uno de esos 'puntos de referencia'$p_U\in U$ con $p_U\not\in V\in\mathscr{U}$ por $V\not=U$ y uno $J$-tabla holomorfa $\zeta_U:U\to\mathbb{C}^n$ así que eso $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$, llegamos a un 'atlas puntiagudo' $$ \widehat{\mathscr{U}} = \{ (U,\zeta_U,p_U)\ |\ U\in \mathscr{U}\ \} $$con todas las propiedades indicadas. La razón es que la única vez que el punto$p_U$ está en el dominio de una función de transición para el atlas puntiagudo $ \widehat{\mathscr{U}}$ es cuando uno está 'haciendo la transición' de $U$ a $V=U$, y, en ese caso, la única función de transición es el mapeo de identidad en $\zeta_U(U)\subset\mathbb{C}^n$, cuya serie de Taylor en $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$ claramente tiene todos los coeficientes en $\mathbb{Q}$ (de hecho, todos los coeficientes están en $\mathbb{Z}$).