$|x|^{3/2}$ fuertemente convexo?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ Si toma la segunda derivada, obtiene $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ Si sigue el requisito de que $f$ es fuertemente convexo cuando $$f''(x) \geq m \gt 0$$ Entonces $f$ es fuertemente convexo.

Sin embargo, si cumple con el requisito de $f$ es fuertemente convexo cuando

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ es convexo, $∀x$ y algo $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ claramente no es convexo ya que $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ para lo suficientemente grande $x$.

¡Por favor, avíseme dónde está mi error!

Gracias

Answer 1

Es cierto que $f''>0$ donde se define, y de hecho $f$ sigue siendo convexo en un intervalo que contiene $0$ Aunque $f''(0)$no está realmente definido. (En un sentido un tanto vago, puedes decir$f''(0)=+\infty$.)

Sin embargo, el primer requisito que mencionó en realidad no se cumple porque no hay un número único$m>0$ tal que $f'' \geq m$ en todas partes, desde $f''$va a cero en el infinito. Así$f$ no es muy convexo, pero no obstante es estrictamente convexo.