Composition des éléments de sous-groupe

Question

Veuillez valider la preuve suivante.

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Laisser $H$ être un sous-groupe du groupe abélien $G$ avec des éléments $h \in H$ et $g \in G$ mais $g \notin H$.

Théorème

Le produit $gh \notin H$.

Preuve

Laisser $x = gh$. Présumer$x \in H$, puis en multipliant par $h^{-1} \in H$ nous avons ça $xh^{-1} = gh(h^{-1}) = g(h h^{-1}) = g$. Nous avons donc composé deux éléments de$H$ et a obtenu un élément $g \notin H$ et cela viole la fermeture du sous-groupe, d'où $gh \notin H$. $\square$

Answer 1

Hypothèse: $H\leq G, g\in G-H, h\in H$.

Supposer que $gh\in H$ et nous aurons une contradiction /

Depuis $h\in H$ et $H$ est un sous-groupe que nous avons $h^{-1}\in H$.

Depuis $h^{-1}, gh\in H \Rightarrow (gh)\cdot h^{-1}=g\in H$ contradiction.

J'ai utilisé ce fait que "si $a,b\in H\leq G$ puis $ab,ba\in H$"

Answer 2

En réalité

Si $H$ est un sous-groupe de $G$ et $h \in H$, alors pour tous $g \in G$ nous avons $gh \in H \iff g \in H$.

En effet, $gh \in H \implies g \in Hh^{-1} \subseteq H$. Inversement,$g \in H \implies gh \in H$. Les deux revendications suivent parce que$H$ est un sous-groupe et est donc fermé sous produits et inverses.

Answer 3

Oui. Ou vous pourriez dire que vous avez montré$g\in H$. De toute façon, contradiction. Cela complète la preuve.