Preuve $e^x - 1 \le e x$ pour $x \in [0, 1]$

Question

En lisant un article récent, je suis tombé sur l'inégalité: $e^x - 1 \le e x$ pour $x \in [0, 1]$.

J'ai essayé de le prouver en utilisant (l'inverse) l'inégalité de Bernoulli ie $(1 + y)^r \le 1 + ry$, pour $r \in [0, 1], y \in [-1, \infty)$, par ici . Ici en utilisant des substitutions$y = e - 1 \ge -1$ et $r = x \in [0, 1]$. Cela a donné: \ begin {align *} (1 + (e - 1)) ^ x & \ le 1 + x (e - 1) \\ \ implique e ^ x & \ le ex + (1 - x) \\ \ ssi e ^ x - 1 & \ le ex - x \\ \ implique e ^ x - 1 & \ le ex \ quad \ text {depuis$x \in [0, 1] \Leftrightarrow - x \in [-1, 0]$} \ end {align *}

2 questions: Tout d'abord, y a-t-il des problèmes avec la preuve ci-dessus? Deuxièmement, quelqu'un peut-il suggérer une autre façon de le prouver? Il y a beaucoup de tels lemmes utilisés dans cet article, donc pensé à vérifier.

Answer 1

Pour toute $x\in[0,1]$ nous avons: $$(1+ex-e^x)'=e-e^x\geq0$$ Donc, $$1+ex-e^x\geq1+e\cdot0-e^0=0.$$

Vous pouvez utiliser Bernoulli pour ce qui suit. $$(1+ex)^{\frac{1}{x}}\geq e$$ mais pour vérifier avant l'inégalité d'origine pour $x=0.$

Answer 2

Pour $0\le x\le1$ nous avons

$$e^x-1=\int_0^xe^t\,dt\le\int_0^xe\,dt=ex$$

depuis $e^t$ est une fonction croissante de $t$ (et $x\le1$).

Answer 3

Voici une démonstration utilisant le théorème de la valeur moyenne. L'inégalité est triviale pour$x=0$. Pour$0 < x \leq 1, $ définir $$f: [0,x] \to \Bbb{R}: y \mapsto ey - e^y +1$$ ensuite $f'(y) = e-e^y \geq 0$ pour tous $y \in [0,x]\subseteq [0,1]$. Par le théorème de la valeur moyenne, il y a$\xi\in (0,x)$ avec

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= f'(\xi) \geq 0$$

Mais alors $$0 \le\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{ex-e^x+1}{x}$$ Et ainsi $0 \leq ex-e^x+1 \iff e^x-1 \leq ex$ comme voulu.

Answer 4

L'inégalité peut-être la plus polyvalente concernant l'exponentielle est $$\tag1 e^t\ge 1+t$$ pour tous $t\in \Bbb R$. Pour$x\ge0$ nous pouvons postuler $\int_0^x\mathrm dx$ des deux côtés et obtenir $$\tag2 e^x\ge 1+x+\frac12x^2.$$ À partir de là, d'où (au moins pour $0\le x\le 1$) $$\begin{align} (1+\tfrac32x)e^{-x}&\ge (1+\tfrac32x)(1-x+\tfrac12x^2)\\ &=1+\frac12x-x^2+\frac34x^3\\&=1+\frac x4(2(1-x)^2+x^2)\\&\ge1.\end{align}$$ Par multiplication avec $e^x$ ($>0$) et réorganiser, $$e^x\le 1+\frac32x.$$ Votre lemme découle alors de $e>\frac32$.