Qu'est-ce que le continuum arithmétique
J'ai récemment essayé de comprendre les nombres surréalistes à un niveau plus significatif. En cours de route, j'ai trouvé cette réponse à une question connexe. La réponse acceptée et l'article qu'elle suggère contiennent les termes «continuum arithmétique» et «continuum arithmétique absolu».
À ma grande surprise, je n'ai pas pu facilement trouver une page Web expliquant ce que sont les deux choses. En particulier, quel est le continuum arithmétique. Le papier dit que "le système de nombres réels devrait être considéré comme constituant un continuum arithmétique modulo l'axiome archimédien", mais je n'ai toujours pas pu trouver une définition pour cela.
ÉDITER
Un aspect important des raisons pour lesquelles j'hésite à faire confiance à ce que je pense que le terme signifie et à chercher une définition formelle est mon niveau de connaissances en mathématiques. Plus précisément, je ne suis pas sûr de ma compréhension de la théorie des ensembles et de la théorie des nombres, il y en a tellement que je ne sais pas.
Dès le début du texte, Cantor et Dedeking, ainsi que la plupart des mathématiciens de l'époque actuelle, croyaient que l'écart entre discrétion et continuité était comblé par la création / découverte de nombres réels.
Maintenant, pour la partie la plus proche, à mon avis, d'une définition.
alors que la théorie de Cantor-Dedekind réussit à combler le fossé entre les domaines de l'arithmétique et de la géométrie euclidienne standard, elle ne révèle qu'un aperçu d'une théorie des continus beaucoup plus riche
Je pensais que le terme «continuum arithmétique» faisait spécifiquement référence à un pont entre l'arithmétique et la géométrie euclidienne, et cela avait du sens pour moi. En ce sens, j'ai pensé, il pourrait y avoir d'autres systèmes mathématiques pour lesquels il y a encore des lacunes par rapport à la géométrie euclidienne ou à l'arithmétique. Par conséquent, il pourrait y avoir un «continuum x» sans nom pour combler un autre de ces écarts.
Du nom de "continuum arithmétique absolu", j'avais l'impression que c'était un pont entre tout système mathématique et l'arithmétique. Cependant, bientôt dans le texte, j'ai changé d'avis à cause du théorème 1.
Théorème 1. Alors que $\mathbb{R}$ est (jusqu'à l'isomorphisme) l'unique champ ordonné universel homogène d'Archimède, Non est (jusqu'à l'isomorphisme) l'unique champ ordonné universel homogène
J'ai suivi la lecture de la thèse pendant un certain temps, mais c'est rapidement devenu difficile, car je suis nouveau dans ce domaine. En fait, je n'étais pas au courant de cela$\mathbb{R}$est un champ ordonné universel, et je ne peux pas dire que je sais exactement ce que c'est, par exemple. Bien que j'aie fait une pause en lisant le journal, j'étais toujours intéressé de savoir ce que signifiaient les noms. Ma compréhension au début du texte était-elle sur la bonne voie, ou les termes ont-ils un autre sens? Quelle serait cette autre signification, ou quel serait l'aspect important qui différencie une arithmétique d'un continuum non arithmétique?
Réponses
Avertissement : Je n'ai pas vu l 'expression «continuum arithmétique» en dehors de l' article d ' Ehrlich Le continuum arithmétique absolu et l' unification de tous les nombres grands et petits ( préimpression ), mais j'ai vu l 'adjectif «arithmétique» et le nom «continuum» et lisez des sections de l'article pour en comprendre le sens.
N'hésitez pas à ignorer toute la section "Contexte" si vous voulez juste voir comment je suis arrivé à ma meilleure estimation quant à l'intention d'Ehrlich basée sur l'article. Et passez à la toute fin si vous voulez juste deviner.
Le contexte
"Arithmétique"
L'adjectif «arithmétique» a quelques significations différentes (par exemple, un ensemble est arithmétique s'il est définissable dans Peano Arithmetic ), mais ils se résument tous à «liés à l' arithmétique ». Autrement dit, en quelque sorte lié aux opérations de base comme l'addition, la multiplication et peut-être la soustraction et la division.
«arithmétique» est parfois distinguée de / associée à «géométrique» comme dans « moyenne arithmétique » par rapport à « moyenne géométrique ».
pont entre l'arithmétique et la géométrie euclidienne
Si quelqu'un me demandait ce qu'était ce pont, je dirais l'avion cartésien , pas quelque chose comme les surréalistes.
Et quand je pense à un pont entre quelque chose d'arithmétique et quelque chose de géométrique, je me souviens de la moyenne arithmétique-géométrique . Le mot «arithmétique» en lui-même ne me le suggère pas.
"Continuum"
Les significations de «continuum» sont un peu plus difficiles à cerner. En général, le continuum est lié à des choses comme «continu» par opposition à discret.
Par exemple, un modèle de physique pourrait dire qu'il existe un continuum de valeurs pour une mesure comme la longueur d'onde d'une lumière laser. Cela revient à l'expression de la mécanique du continuum où le calcul est utilisé et les particules / atomes individuels des corps sont ignorés. Vous avez peut-être aussi entendu parler du « continuum espace-temps ».
Dans la célèbre hypothèse du continuum , le «continuum» fait référence aux réels ou peut-être à leur cardinalité .
En généralisant à partir des réels, nous obtenons des continuums linéaires qui sont des ensembles avec un ordre linéaire qui partage les propriétés de complétude et de densité Dedekind des réels. De manière équivalente , celui dont la topologie d'ordre partage la connectivité des réels.
Une généralisation différente des intervalles fermés de réels est le concept général d'un continuum en topologie. C'est un espace métrique connecté compact non vide , ou peut-être fait référence plus généralement à n'importe quel espace Hausdorff connecté compact . C'est à cela que fait référence la balise [théorie du continuum] .
Notez que les surréalisations ne sont pas connectées sous la topologie d'ordre (par exemple, il y a un espace parfois noté "$\infty$"entre les surréalisations infinies supérieures à chaque entier et tous les autres surréalisations), donc aucune de ces définitions du" continuum "ne semble s'appliquer.
Sens
Recherche de la phrase
Dans le corps principal de l'article (pré-impression de l'article), donc sans compter le titre, un titre de référence, le résumé, l'introduction ou le titre d'une partie, l'expression "continuum arithmétique" n'apparaît que trois fois, nous pouvons donc tous les examiner :
C'est cela, combiné avec le théorème 1 et un certain nombre de résultats étroitement liés (voir [Ehrlich 1992, à paraître 1]) qui suggèrent naturellement que $\mathbf{No}$ peut être considéré comme un continuum arithmétique absolu (modulo $\mathrm{NBG}$)
...
Alors que les théorèmes 1 et 3 peuvent être considérés comme caractérisant $\mathbf{No}$ en tant que continuum arithmétique absolu, on peut dire que le théorème 13 caractérise $\mathbf{No}$ comme un $s$- continuum arithmétique absolu hiérarchique .
La première citation apparaît peu de temps après le théorème 3 et fait référence au théorème 1, et la seconde citation fait référence aux théorèmes 1 et 3, nous devons donc absolument examiner ces théorèmes et les définitions dont ils dépendent.
Théorèmes et définitions
Théorème 1 (Ehrlich 1988; 1989; 1989a; 1992). Tandis que$\mathbb R$est (jusqu'à l'isomorphisme) l'unique champ ordonné archimédien universel homogène, $\mathbf{No}$est (jusqu'à l'isomorphisme) l'unique champ ordonné universel homogène .${\!}^{4}$
...
${\!}^{4}\!$ Pour les besoins de cet article, un champ ordonné (champ ordonné d'Archimède) $A$est dit universel homogène s'il est universel - tout champ ordonné (champ ordonné d'Archimède) dont l'univers est une classe de$\mathrm{NBG}$ peut être intégré dans $A$- et il est homogène - tout isomorphisme entre les sous-champs de$A$ dont les univers sont des ensembles peut être étendu à un automorphisme de $A$.
...
la notation "$L<R$"indique que chaque membre de $L$ précède chaque membre de $R$...
Définition 1 (Ehrlich 1987). Une classe ordonnée$\langle A,<\rangle$sera considéré comme un continuum linéaire absolu si pour tous les sous-ensembles$L$ et $R$ de $A$ où $L<R$ Il y a un $y\in A$ tel que $L<\{y\}<R.$
...
Théorème 2 (Ehrlich 1988).$\langle\mathbf{No},<\rangle$ est (jusqu'à l'isomorphisme) l'unique continuum linéaire absolu.
...
Théorème 3 (Ehrlich 1988).$\mathbf{No}$ est (jusqu'à l'isomorphisme) l'unique champ ordonné réel-fermé qui est un continuum linéaire absolu.
Un champ ordonné est réel-fermé si et seulement s'il n'admet aucune extension à un champ ordonné plus inclusif qui résulte de la complétion du champ avec des solutions d'équations polynomiales avec des coefficients dans le champ ...$\mathbf{No}$ non seulement présente toutes les gradations possibles algébriques et théoriques de l'ordre définies en théorie des ensembles compatibles avec sa structure en tant que champ ordonné, c'est à l'intérieur de l'isomorphisme la structure unique qui le fait. C'est cela avec le théorème 1 ... continuum arithmétique absolu ...
D'après ce qui précède, un «continuum linéaire absolu» a une version renforcée de la version de la propriété de densité que possèdent les «continus linéaires» habituels. Et$\mathbf{No}$est appelé un "continuum arithmétique absolu" car il a aussi autant de solutions aux polynômes (qui sont plus liés à l'arithmétique qu'aux ordres linéaires) qu'un champ ordonné le peut, car c'est un champ réel-fermé .
"Continuum arithmétique (absolu)"
Bien que cela ne soit pas précisé explicitement dans cet article, j'imagine que «continuum arithmétique» pourrait signifier un champ réel-fermé dont la structure d'ordre est celle d'un continuum linéaire . ($\mathbb R$ est l'unique chose de ce genre jusqu'à l'isomorphisme.)
Et un "continuum arithmétique absolu" est presque certainement un champ réel-fermé de taille de classe dans NBG dont la structure d'ordre$\langle A,<\rangle$ est celle d'un "continuum linéaire absolu", ce qui signifie que si $L$ et $R$ sont des ensembles et chaque élément de $L$ est inférieur à chaque élément de $R$, alors nous pouvons trouver $y\in A$ tel que $\ell<y$ et $y<r$ pour tous $\ell\in L$ et $r\in R$. ($\mathbf{No}$ est l'unique chose de ce genre jusqu'à l'isomorphisme.)