Quelle est la signification de cette notation d'ensemble?

Question

J'étudie les mathématiques discrètes en utilisant Rosen Discrete Mathematics 7e édition. Je fais des sets. Je ne comprends pas ce que cela veut dire.

Je ne comprends pas pourquoi l'intersection de tous ces ensembles est {1}. Je pensais que ce serait tout {1,2,3,...., i}.

Answer 1

Souvenez-vous que si $P\subset Q$, puis $P \cap Q = P$. cela signifie qu'à l'intersection les parties internes communes sont le résultat, puisque$P$ est tout à l'intérieur $Q$, alors le résultat doit être $P$. La même logique s'applique à vos ensembles d'exemples:

$A_1 = \{1\} \subset \underbrace{\{1,2\}}_{A_2}\subset\underbrace{\{1,2,3\}}_{A_3}\subset \cdots\subset A_n,$

Donc, pour tous $n\ge1$, nous avons ça $A_1 = \{1\}\subseteq A_n$. Donc,$\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_n = A_1 = \{1\}$

(Pensez simplement: quels éléments sont toujours à l'intérieur de tout$A_n$ ?

Answer 2

Notez qu'un élément $a$ appartient à l'intersection de deux ensembles $A_i \cap A_j$ si et seulement si $a\in A_i$ et $a\in A_j$. Le seul élément de ce type étant donné la séquence infinie d'ensembles qui vous est présentée est$1$ - précisément parce que $A_1 = \{1\}$ est le plus petit (en termes de cardinalité) défini dans la séquence, et est contenu comme un sous-ensemble dans tous les autres.

Si vous trouvez le $\{1,2,3,\ldots\}$ pour $i=1,2,3,\ldots$notation déroutante, ce n'est qu'une convention mathématique et les points de suspension représentent une suite infinie d'éléments. Notez aussi que$1,2,3$ ne sont pas toujours dans l'ensemble, ce qui est facile à voir en branchant $i=1$, par exemple.

Answer 3

Pensez-y récursivement.

Quand $i = 1, 2, 3, \dots$ vous obtenez les ensembles $\{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}, \dots$

Observe ceci $\{1\}\cap \{1,2\} = \{1\}$, puis $\left(\{1\}\cap \{1,2\}\right) \cap \{1,2,3\} = \{1\} \cap \{1,2,3\} = \{1\}$. Récursivement, vous avez la réponse.