Représentation graphique des équations différentielles
Cela peut sembler une question assez stupide puisque je suis nouveau dans l'apprentissage des équations différentielles. Je résous l'équation différentielle suivante$$x\frac {dy}{dx}-y=x^3$$ et la solution que je propose est $$y=\frac{x^3}{2}+cx$$mais ce qui me dérange, c'est que la solution n'est pas unique ... pour différentes valeurs de c je pourrais obtenir des solutions différentes et toutes ces solutions se croisent à l'origine. N'est-ce pas faux? Je veux dire ce que j'ai compris d'un point de vue graphique, c'est que chaque point du champ de direction ne peut avoir qu'une seule pente. Des solutions multiples avec des c différents impliquent ici plusieurs pentes à l'origine.
Réponses
Puisque vous n'avez pas récité un théorème qui soutiendra votre affirmation selon laquelle il ne peut y avoir de point commun à deux solutions par ailleurs distinctes, je le ferai pour vous. D'après les équations différentielles ordinaires du MIT 18.03: notes et exercices ,$\S$G p. 2 (PDF p. 7), le principe d'intersection
Courbes intégrales de $y' = f(x,y)$ ne peut pas se croiser partout $f(x,y)$ est lisse.
Donc, d'abord, vous devez énoncer votre équation sous la forme du théorème.
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y}{x} + x^2 $$
Le côté droit ("$f(x,y)$"dans le théorème) n'est pas lisse à $x = 0$ car $\frac{y}{x}$ n'est pas défini à $x = 0$. Le theoreom promet que les courbes intégrales ne se coupent pas pour tous$x \neq 0$, mais le théorème ne fait aucune promesse quand $x = 0$. Vous avez trouvé un exemple pour expliquer pourquoi il ne peut faire aucune promesse à$x = 0$.
Très bonne intuition. Le seul défaut dans votre réflexion est que dans l'équation d'origine,$\frac{dy}{dx}$ est multiplié par $x$.
Par conséquent, quand $x = 0$, il devient sans importance quoi $\frac{dy}{dx}$ est.
Addendum Réaction au commentaire / réaction de l'OP concernant le 10-3-2020.
L'équation d'origine est $x\frac{dy}{dx} - y = x^3.$
Vous avez découvert que la solution n'est pas une équation mais une famille d'équations, représentée par
$y = \frac{x^3}{2} + cx ~\Rightarrow ~\frac{dy}{dx} = f'(x) = \frac{3x^2}{2} + c.$
Votre intuition s'est alors rebellée, intuitant (en effet):
Quelque chose cloche ici.
Considérez deux solutions distinctes:
$f_1(x) = \frac{x^3}{2} + c_1x.$
$f_2(x) = \frac{x^3}{2} + c_2x ~: ~c_2 \neq c_1$
Comme la valeur de $c$ change, la valeur de $\frac{dy}{dx}.$
Cela signifie qu'à toute valeur donnée de $x$, $f'_1(x)$ et $f'_2(x)$ sera inégale.
Comment une famille de fonctions, représentée par $f_1(x)$ et $f_2(x)$
dont chacun doit avoir une valeur différente pour$f'(x_0)$ à une valeur spécifique de $x_0$ jamais se croiser?
Réponse:
Ma réponse originale ne donnait qu'une explication mathématique du pourquoi
(par exemple)$f_1(x)$ et $f_2(x)$peut se croiser à l'origine
malgré le fait que$f'_1(0) \neq f'_2(0).$
Intuitivement, considérons l'ensemble alternatif de deux équations différentielles:
$f''(x) = 0,$ pour tous $x~~$ combiné avec $~~f(x) = 0.$
Les deux équations ci-dessus seront satisfaites par la famille d'équations:
$f(x) = cx,~$ qui se croisent tous à $x=0$.
Juste parce que chaque membre de la famille a un dérivé différent à$x=0$
ne signifie pas qu'ils ne peuvent pas tous se croiser à $x=0$.
En ce qui concerne la terminologie spécifique de votre commentaire, bien que j'aie eu une brève exposition aux concepts d'isocline et de champ directionnel, je n'ai pas l'expérience professionnelle pour lutter contre ces concepts et expliquer le défaut supposé de votre intuition (le cas échéant).
Il me semble que vous posez une question légitime qui dépasse tout simplement mes compétences. Si j'étais à votre place et que je ne pourrais pas accepter votre question en attente dans les 24 heures, et si personne d'autre ne répondait parce que les requêtes mathSE ont tendance à se perdre dans la lecture aléatoire, alors je:
(1)
Créez une nouvelle requête mathSE. Dans cette nouvelle requête, fournissez un lien vers cette requête. Indiquez que la nouvelle requête fait suite à cette requête, s'il y a toujours un problème non résolu. Énoncez le problème aussi clairement que possible, en veillant à utiliser une syntaxe très similaire à celle de votre commentaire.
De cette façon, vous tenterez (en fait) (tout à fait raisonnablement) de forcer les examinateurs qualifiés mathSE à se concentrer sur le problème que votre point de vue juge en suspens.
(2)
Dans cette requête, laissez votre commentaire là où il se trouve. Cependant, ajoutez un addendum à votre requête d'origine dans cette publication. Dans cet addendum, répétez la question en suspens de votre commentaire pertinent. Indiquez que, de votre point de vue, c'est une question en suspens. Indiquez (également dans l'addendum) que vous interprétez la question en attente comme une deuxième question et que vous avez donc lancé une deuxième requête mathSE. Fournissez un lien vers la 2ème requête mathSE dans l'addendum de cette requête d'origine.
L'équation de $f'(x)$ (ou $y'$) que vous obtenez lorsque vous différenciez est l'équation de la tangente de $f(x)$. Pour un polynôme de degré$n$, la tangente est un polynôme de degré $n-1$. La pente de$f(x)$ varie avec $x$. Si vous dessinez des tangentes sur$f(x)$ à différents points $x_1, x_2$, vous obtenez des pentes différentes, n'est-ce pas?