Simplifier $(1+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Question

Quelqu'un peut-il m'aider à simplifier $(1+\sqrt{3})\times\sqrt{2-\sqrt{3}}$? Le résultat final est$\sqrt{2}$Cependant, honnêtement, je ne sais pas comment y arriver en utilisant mes compétences actuelles.

J'ai demandé à un enseignant / tuteur et il a proposé de définir l'expression égale à X et de travailler à l'envers, en quadrillant les deux côtés de sorte que:

$$X^2 = (1 + \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) =(4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =8-2\sqrt{3}^2 = 2 \require{cancel}$$ $$\Rightarrow X = \sqrt{2}$$

Ma principale question est:

1. Quelles sont les étapes pour simplifier cela sans définir égal à X?
2. J'ai essayé de regarder une vidéo sur youtube, mais je n'ai pas réussi - la différence de carrés est-elle applicable ici?

Merci!

Answer 1

En général, $\sqrt{2 - \sqrt3}$ peut être dénesté à l'aide de l'équation $$\sqrt{X\pm Y} = \sqrt{\frac{X + \sqrt{X^2-Y^2}}{2}} \pm \sqrt{\frac{X - \sqrt{X^2-Y^2}}{2}}.$$ (la source)

Réglage $X = 2$ et $Y = \sqrt3$ donne $X^2-Y^2=1$ et donc $$\sqrt{2-\sqrt3} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt 2}.$$ Multiplier par $\sqrt3 + 1$ transforme le numérateur en $3-1 = 2$, et $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$.

C'est plus long que d'apporter $\sqrt3+1$ dans le radical dans ce cas particulier, mais fonctionne plus généralement.

Answer 2

$$(1+\sqrt3)\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{(4+2\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\sqrt{2(4-3)}=\sqrt2.$$

Answer 3

Tu as $x\sqrt y$. Apporter$x$ à l'intérieur de la racine carrée pour obtenir $\sqrt{x^2y}$

Answer 4

C'est ce que l'OP entend par la méthode du «réglage égal à X».

Laisser $x = (1+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$, Et ainsi:

$$x^2 = (1 + \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) =(4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =8-2\sqrt{3}^2 = 2 \require{cancel}$$ $$\Rightarrow x = \cancel{-\sqrt{2}}, \sqrt{2}$$

La raison pour laquelle nous avons barré $-\sqrt{2}$ c'est parce que $1 + \sqrt{3} > 1 > 0$, et $\sqrt{2 - \sqrt{3}} > 0$, Donc $x = (1 + \sqrt{3})(\sqrt{2 - \sqrt{3}}) > 0$. Par conséquent$x = \sqrt{2}$ est la seule valeur possible.