Somme sur les coefficients binomiaux

Question

Je veux savoir si la somme suivante a une forme fermée: $$\sum_{j=0}^N{j+k-1\choose k-1}{N-j+k-1\choose k-1}$$

J'ai essayé de réécrire la somme de façon à pouvoir utiliser la forme suivante de l'identité Vandermonde: $$\sum_{m=0}^n{m\choose j}{n-m\choose k-j}={n+1\choose k+1}$$ mais je n'ai pu arriver à aucun résultat.

Answer 1

Indice: vous faites du bien! En utilisant ce que vous y mettez, vous aurez besoin$n-(j+k-1)=N-j+k-1$ implique $n=N+2k-2$ et tu as aussi ça $2k-2-(k-1)=k-1$ Alors prends le $k$ dans la deuxième équation être $2k-2.$