Treillis sur modules

Question

La construction standard des treillis en $\mathbb{R}^n$ peut être généralisée en prenant n'importe quel espace vectoriel de dimension finie $V$ sur un champ $F$ et un sous-répertoire $R$ de $F$, selon Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).

Y a-t-il une raison pour laquelle seuls les espaces vectoriels de dimension finie sont considérés ici, et non des modules libres de rang fini? Le treillis devrait toujours former un sous-groupe additif, et je pense que la propriété des bases de donner des treillis isomorphes devrait également être la même. Y a-t-il une propriété importante qui est perdue avec cette généralisation supplémentaire qui me manque?

Answer 1

Une propriété importante de la théorie des treillis est le produit interne que vous obtenez $\mathbb{R}^n$, ainsi que des objets associés comme le volume.

Beaucoup de théorèmes intéressants et utiles proviennent de l'interaction entre les structures algébriques et géométriques, par exemple le théorème de Minkowski et son application à la géométrie des nombres. La géométrie est également importante pour ses applications en cryptographie , car il faut une norme pour parler de choses comme le problème vectoriel le plus court.

Une définition équivalente pour les treillis est de les définir comme un $\mathbb{Z}$module équipé d'une forme quadratique. La généralisation suivante apparaît à la page 3 des «Lattices and Codes» d'Ebeling.

Définition: Let$R$être un anneau commutatif avec l'unité. Un module de forme bilinéaire symétrique$(S,b)$ plus de $R$ est une paire composée d'un libre $R$-module $S$ de rang $n$, et une forme bilinéaire symétrique $b : S \times S \to R$.

Proposition 1.1 (Ebeling) Les réseaux intégraux dans$\mathbb{R}^n$ (treillis où chaque produit scalaire est un entier) sont les modules de forme bilinéaire symétrique sur les entiers où $b$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Le texte mentionne que les modules de forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb{Z}$ sans la propriété définie positive sont étudiés au chapitre 4, et des exemples sur des anneaux d'entiers sont étudiés au chapitre 5. Vous pouvez les trouver intéressants à parcourir.