Trouvez la longueur de $x$.

Question

Laisser $ABC$ être un triangle rectangle rectangle à $B$. Les bissectrices des angles$A$ et $C$ sont dessinés, coupant les côtés opposés à $D$ et $E$respectivement. Étant donné que$CD=12$ et $AE=8$ trouver la longueur de $AC$ (qui a été donné comme $x$dans la question). De plus, laissez les points où le cercle incarné est tangent au côté$AB$ et $BC$ être $F$ et $G$respectivement. (Diagramme donné à la fin de la question)

J'ai essayé deux approches:

Approche 1: j'ai essayé d'utiliser la trigonométrie pour celui-ci. Laisser$\angle BAO= \alpha$. Et laissez$r$ soit la grandeur du rayon du triangle $ABC$. Laissez également$EF=y$ et $DG=z$. Puis dans$\triangle AGO$ et $\triangle OEG$, $z=r \tan \alpha$ et $z=\frac{r}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)} - 12 $. En les peignant tous les deux, j'obtiens ceci:

$$12=r \left( \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)}- \tan \alpha \right) $$

De même dans $\triangle AGO$ et $\triangle OFD$ :

$$8= r \left( \dfrac{1}{\tan \alpha} - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \alpha\right) \right)$$

Diviser ces deux équations et simplifier en laissant $t=\tan \alpha$, J'obtiens l'expression suivante: $t^3+4t^2-2t+2=0$ qui a une solution extrêmement horrible, alors je l'ai laissée.

Edit : Je suis un imbécile complet et j'ai mal fait les calculs: après la division, cela se simplifie en$(2t-1)(t+3)=0$ après quoi il suit immédiatement que $x=24$.

Approche 2 (incomplète): Alors au lieu d'utiliser la trigonométrie, j'ai essayé d'utiliser des techniques élémentaires cette fois. Depuis$\triangle AFO \sim \triangle OGD$, on a $$\frac{r}{y}=\frac{z+12}{r} \implies r^2 = y(z+12)$$

De même $r^2=z(8+y)$. En combinant ces deux, nous obtenons$3y=2z$. La valeur de$x=20+y+z$. Maintenant seulement si je pouvais trouver$y+z$la question serait terminée. Quelqu'un voudrait-il donner un indice ou pourrait-il fournir une meilleure solution?

Schéma de la question originale:

Diagramme étiqueté:

Answer 1

Laisser $BC=a$, $AB=c$ et $a=tc$.

Ainsi, depuis $\frac{cx}{x+a}=8$ et $\frac{ax}{x+c}=12,$ on obtient: $$\frac{a(x+a)}{c(x+c)}=\frac{3}{2}$$ ou $$\sqrt{a^2+c^2}(2a-3c)=3c^2-2a^2$$ ou $$\sqrt{t^2+1}(2t-3)=3-2t^2,$$ qui donne $$\sqrt{1.5}<t<1.5$$ Maintenant, après la quadrature, nous obtenons: $$t(4t-3)(3t-4)=0,$$ qui donne $$t=\frac{4}{3},$$ $$a=\frac{4}{5}x$$ et $$c=\frac{3}{5}x,$$ qui donne $x=24.$