Valeur d'une intégrale

Question

J'ai besoin de vérifier la valeur de l'intégrale suivante $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ L'intégrande (facteur de $4n(n-1)$) inclus) est le pdf de certaines variables aléatoires pour $n\geq 3$et par conséquent je m'attends à ce que ce soit 1. Si quelqu'un peut gentiment le mettre dans un système d'algèbre informatique comme MATHEMATICA, je serais très obligé. Je n'ai accès à aucun logiciel CAS.

PS: -Je ne connais aucun logiciel CAS gratuit. S'il y a quelqu'un, veuillez partager

Answer 1

L'intégrale peut être réécrite comme \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} En intégrant par pièces, nous obtenons $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Donc, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS Vous pouvez utiliser SageMath et WolframAlpha pour les calculs symboliques. Les deux sont gratuits.

Answer 2

Il semble que votre conjecture soit vraie. Mathematica donne le résultat$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ en termes de fonction bêta incomplète, et en mettant des entiers aléatoires $\geq 3$ donne toujours 1 (je n'ai pas réussi à faire cracher cela par Mathematica comme résultat général pour arbitraire $n$).

Answer 3

Vous pouvez utiliser CoCalc . Par exemple, tapez integral(x^2,x)et obtenez1/3*x^3

Il permet également des paramètres symboliques.

Contribution:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Production:

1/3*x^3+n*x