Additive नटाल (अभाज्य संख्याओं का योग) के लिए गुणक नलिकाओं के बीच मोनोमेड होमोमोर्फिज्म के कर्नेल जोड़ी का कर्णप्रिय मोनोड।
लश्कर $M = \Bbb{N}^{\times}$ तथा $N = (\Bbb{N}\setminus \{1\} \cup \{0\})^+$ गुणक हो, और क्रमशः, additive भीलों और चलो $\varphi : M \to N$ लेने से परिभाषित किया $1$ सेवा $0$ तथा $\prod_{i} p_i$ सेवा $\sum_i p_i$ primes के किसी भी उत्पाद के लिए $p_i$। फिर हम स्पष्ट रूप से एक अच्छी तरह से परिभाषित मोनोमोर्फिज्म को देख रहे हैं।
केरनेल जोड़ी पर विचार करें $\ker \varphi = \{ (x,y) \in M \times M : \varphi(x) = \varphi(y)\}$। यह एक बधाई संबंध को परिभाषित करता है$M$ और इसलिए हम भागफल ले सकते हैं:
$$ M' = M/\ker \varphi $$
पहले ध्यान दें कि सामान ऐसा हो $\varphi(39) = \varphi(55)$ जबसे $3 + 13 = 16 = 5 + 11$ ताकि $\ker \varphi$ वास्तव में गैर-तुच्छ है।
विकिपीडिया लेख कहता है:
परिणाम यह निकला $\ker f$ पर एक तुलनीय संबंध है $M$, और वास्तव में एक संबंध संबंध है। इस प्रकार, यह भाववाचक मोनॉइड की बात करता है$M/(\ker f)$। मोनोइड्स के लिए पहला आइसोमोर्फिज्म प्रमेय बताता है कि यह भागवत मोनॉइड प्राकृतिक रूप से छवि की आइसोमॉर्फिक है$f$ (जो एक उपसमुच्चय है) $N$), (संबंध संबंध के लिए)।
इस प्रकार $M' \simeq N$, जबसे $\varphi$विशेषण है। हम आसानी से कैसे दिखा सकते हैं$\varphi$विशेषण है? ऐसा लगता है कि शायद हम उपयोग कर सकते हैं$(p) + (q) = \Bbb{Z}$ दो प्रमुख आदर्शों के लिए $p,q$ लेकिन हम वास्तव में नहीं कर सकते क्योंकि नकारात्मक पूर्णांक शामिल होंगे।
जवाब
अगर $n$ सम है, $n = \varphi(2^{n/2})$ और अगर $n$ अजीब है, $n = \varphi(2^{(n-3)/2}\times 3)$।