अगर $f$ तब निरंतर है $f$ समान रूप से निरंतर iff है $|f|$ समान रूप से निरंतर है
अगर $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ तब निरंतर है $f$ समान रूप से निरंतर iff है $|f|$ समान रूप से निरंतर है।
एक नक्शा $f$ एक मीट्रिक स्पेस से $M=(M,d)$ एक मीट्रिक स्थान पर $N=(N,\rho)$ कहा जाता है कि अगर सभी के लिए समान रूप से निरंतर हो $\epsilon>0$, वहाँ मौजूद है $\delta>0$ ऐसा है कि $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ जब कभी $x,y \in M$ संतुष्ट होना $d(x,y)<\delta$।
स्पष्टतः यदि $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ समान रूप से निरंतर है $|f|$ समान रूप से निरंतर है $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$लेकिन मुझे वास्तविक परेशानी का सामना करना पड़ रहा है। क्षेत्र में जहां$f$ हमेशा सकारात्मक या नकारात्मक होता है, हमें कोई समस्या नहीं होगी लेकिन उन बिंदुओं से कैसे निपटा जाए $f$संकेत बदल रहा है। यदि का शून्य$f$ परिमित हैं तो हम भी कम से कम ले सकते हैं $\delta$एस और परिणाम समाप्त। जीरो का क्या होगा$f$ अनंत हैं
जवाब
जैसा कि टिप्पणियों में उल्लेख किया गया है, यहां दिए गए प्रमाण को आसानी से पूरे के लिए काम करने के लिए संशोधित किया जा सकता है$\mathbb{R}^n$।
जबसे $\lvert f \rvert$ समान रूप से निरंतर है, वहां मौजूद है $\delta > 0$ ऐसा है कि \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} ध्यान दें कि यदि $f(x)f(y) > 0$, तब फिर \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} जो कम है $\epsilon/2$ जब कभी $d(x,y) \leq \delta$। अप्रत्याशित रूप से, यह मामला काफी तुच्छ था। हम अब अपना ध्यान मामले की ओर मोड़ते हैं$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$। चूँकि वह हमेशा धारण करता है\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} यह दिखाने के लिए पर्याप्त है $\star$ तात्पर्य अ के अस्तित्व से है $z$ ऐसा है कि $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ तथा $f(z) = 0$। क्योंकि तब\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} जब कभी $d(x,y) \leq \delta$। जबसे$f$ निरंतर है, एक उपयुक्त का अस्तित्व $z$ की निरंतरता से निम्नानुसार है $f$ तथा $\star$(मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय के परिणाम के रूप में, यहां देखें )।