अगर $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ सभी तर्कसंगत संख्याओं के लिए $a<b$, तब फिर $f(x)=0$ ae [डुप्लिकेट]
चलो $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$एक पूर्णांक समारोह हो।
दिखाओ कि अगर$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ सभी तर्कसंगत संख्याओं के लिए $a<b$, तब फिर $f(x)=0$ सभी जगह सबसे ज्यादा।
संकेत: पहले साबित$\int\limits_Af=0$ के लिये $A$ एक खुला सेट, फिर के लिए $A$ औसत दर्जे का।
मेरा प्रयास: चलो $A$ में एक खुला सेट $\mathbb{R}$। तब हम लिख सकते हैं$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ कहां है $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$तर्कसंगत अंत बिंदुओं के साथ खुले अंतराल का एक निराशाजनक संग्रह है (क्या यह संभव है?)
इसलिए $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$
फिर मुझे मापने योग्य परिणाम के लिए कैसे उपयोग करना चाहिए $A$ और इसके अलावा, ऐसा करने के बाद, करता है $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ का तात्पर्य $f=0$ae?
आपकी सहायता की सराहना
जवाब
मुझे लगता है कि यह सरल है। चलो$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$
$\mu (D)$ सेट का माप है $D$। हम जानते है$\mu (A)=0$ तथा $\mu (B)=b-a$। लेब्सगेग इंटीग्रल:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ इसलिये $\int_{A} f(x)d\mu=0$( इसलिये $f(x)=0$ लगभग हर जगह) और $\int_{B} f(x)d\mu=0$
आप संग्रह को परिभाषित करने की एक क्लासिक चाल कर सकते हैं
$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$
और उसके बाद दिखाओ $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$। जबसे$f$ औसत दर्जे का अंतिम वांछित परिणाम है क्योंकि अन्यथा का पालन करेंगे $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ कहां है $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$।
आप बाद में इसे सत्यापित कर सकते हैं $\mathcal{E}$ एक है $\sigma$-एल्जब्रा, अगर आप ऐसा दिखाते हैं $A\in \mathcal{E}$ किसी भी खुले सेट के लिए $A$, तो यह उसका पालन करेगा $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$।
अंत में चूंकि तर्कसंगत एंडपॉइंट के साथ अंतराल टोपोलॉजी का एक गणना योग्य आधार है $\mathbb{R}$किसी भी खुले के लिए $A\subseteq \mathbb{R}$ तर्कसंगत समापन बिंदु के साथ अंतराल का एक संग्रह मौजूद है, $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ ऐसा है कि $A=\cup (a_k,b_k)$। DCT का उपयोग करते हुए, आपको वह मिलता है$\int_A f =0$।