अगर $p$ के साथ एक अजीब प्राइम है $p ≡ 3(\mod 4)$, फिर $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Aug 16 2020

अगर सही है तो साबित करो। झूठे होने पर पलटवार करें। अगर$p$ के साथ एक अजीब प्राइम है $p ≡ 3(\mod 4)$, फिर $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

प्रमाण। $p ≡ 3(\mod 4)$ का तात्पर्य $4|p-3$। विल्सन के प्रमेय कहते हैं: यदि पी प्रमुख है, तो$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ या समकक्ष $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ बाद का तात्पर्य है $$p|(p-1)!+1.$$

मुझे यकीन नहीं है कि वहाँ से कहाँ जाना है, या यदि वह भी सही दृष्टिकोण है जिसके साथ शुरू करना है।

जवाब

1 SiongThyeGoh Aug 16 2020 at 13:03

विल्सन के प्रमेय से, हम जानते हैं कि $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

इसलिए, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

जो साबित करने के बराबर है $\frac{p-1}2$ एक विषम संख्या है

अगर $p = 4k+3$, फिर $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ जो एक विषम संख्या है।