अगर $p$ के साथ एक अजीब प्राइम है $p ≡ 3(\mod 4)$, फिर $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$
अगर सही है तो साबित करो। झूठे होने पर पलटवार करें। अगर$p$ के साथ एक अजीब प्राइम है $p ≡ 3(\mod 4)$, फिर $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$
प्रमाण। $p ≡ 3(\mod 4)$ का तात्पर्य $4|p-3$। विल्सन के प्रमेय कहते हैं: यदि पी प्रमुख है, तो$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ या समकक्ष $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ बाद का तात्पर्य है $$p|(p-1)!+1.$$
मुझे यकीन नहीं है कि वहाँ से कहाँ जाना है, या यदि वह भी सही दृष्टिकोण है जिसके साथ शुरू करना है।
जवाब
विल्सन के प्रमेय से, हम जानते हैं कि $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,
इसलिए, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$
जो साबित करने के बराबर है $\frac{p-1}2$ एक विषम संख्या है
अगर $p = 4k+3$, फिर $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ जो एक विषम संख्या है।