अगर $\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$। फिर गणना करें $\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$। यहाँ $i=\sqrt{-1}$
प्रश्न: यदि$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$ , $\text{ }$फिर गणना करें $$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$ यहाँ $i=\sqrt{-1}$ ।
मेरे उत्तर: मैंने इसे द्विघात सूत्र और डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करके किया है। मुझे मेरे संदेह का प्रस्ताव करने से पहले मुझे अपना काम लिखने दें .. यहाँ मैंने यह कैसे किया ..
हमें मिलने वाले समीकरण को हल करना $$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$ लेना $x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$
अब हम जानते हैं कि $2187=(273\times8)+3$
$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$
$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$
अब मेरा पहला प्रश्न यह है कि, द्विघात संबंध ने हमें दो भिन्न मूल्य दिए हैं$x$। एक जिसके साथ मैंने जवाब देने के लिए काम किया है$\sqrt {2}i$ और दूसरा, $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$जिसे मैंने पीछे छोड़ दिया था। अब इसके साथ काम करने पर मुझे पता चलता है कि कोण बदल जाता है$\frac{\pi}{10}$और सामान उसके बाद और अधिक जटिल हो जाता है। इस एक का आधिकारिक जवाब है$\sqrt{2}i$ (जो मुझे पता चला है उसके साथ मेल खाता है)।
मेरा संदेह यह है कि हम दूसरे मूल्य पर विचार क्यों नहीं करते हैं $x$ ?
और क्या इसको हल करने के लिए कोई विकल्प (अधिमानतः सरल) विधि है?
आपकी मदद और समर्थन के लिए बहुत बहुत धन्यवाद .. :)
जवाब
$2187=3^7$। यह एक सुराग है। की शक्तियाँ$3$महत्वपूर्ण हैं। अभी$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$ तथा $$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$ इसलिए $$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$ इसे दोहराते हुए, $$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$ आदि अंत में, $$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$
वास्तव में, यह सत्यापित करना आसान है कि दोनों के मान $x$उसी का परिणाम है। पूरी समस्या के लिए, आपको बस दो बार डी मोइवर के सूत्र की आवश्यकता है (बिना स्पष्टीकरण के कागज की दो पंक्तियाँ)।
के लिये $x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, आपने दिखाया है इसका उत्तर है $i\sqrt 2$।
अब छोडो $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$। डी मोइवरे के सूत्र और इस तथ्य का उपयोग करना$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$ आपको मिला $$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$ कर दी है!