असतत समर्थक। वितरण: द्विपद
हम जानते हैं कि एक द्विपद वितरण के लिए, जब हम यह जानना चाहते हैं कि ट्री आरेख का उपयोग करने के बजाय किसी घटना के कितने परिणाम हुए हैं, तो हम चयन या संयोजन का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर X एक सिक्के को तीन बार उछाले जाने के बाद सिर की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, और हम समस्या जानना चाहते हैं। सिर एक बार बाहर आ रहे हैं।
हम कहेंगे, Pr(X=1)= 3C1 गुना ... प्रोब। सफलता के समय की समस्या। असफलता का।
क्योंकि हम जानते हैं कि ऐसे तीन तरीके हैं जिनसे हम एक सिर चुन सकते हैं। ट्री आरेख से: HNN, NNH, NHN। एच = सिर, एन = कोई सिर नहीं।
मेरा प्रश्न यह है कि संयोजनों का उपयोग करना सही क्यों है जब यह स्पष्ट है कि हम उन चीजों के लिए संयोजनों का उपयोग नहीं करते हैं जहां ऑर्डर मायने रखता है। यहां हम देख सकते हैं कि क्योंकि ये एचएनएन, एनएनएच, एनएनएन सभी अलग-अलग चीजें हैं जिनमें एक सिर और दो सिर का एक ही तत्व होता है, यह स्पष्ट है कि आदेश मायने रखता है। हम इसके बजाय क्रमपरिवर्तन का उपयोग क्यों नहीं कर सकते?
जवाब
क्रमपरिवर्तन विशिष्ट वस्तुओं की व्यवस्थाओं की गणना करते हैं। सिर और पूंछ के अनुक्रम के तत्व अलग नहीं हो सकते हैं यदि अनुक्रम की लंबाई दो से अधिक है।
उदाहरण के लिए, COUNT शब्द के अक्षरों के क्रमचय की संख्या, जिसमें पाँच अलग-अलग अक्षर हैं, है$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$और शब्द COUNT के अक्षरों के तीन-अक्षर क्रमचय की संख्या है$$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
दूसरी ओर, शब्द वितरण के अक्षरों के अलग-अलग क्रमपरिवर्तनों की संख्या, जिसमें सभी अक्षर अलग नहीं हैं, है$$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$चूँकि हमें I के लिए बारह पदों में से तीन का चयन करना है, T के लिए शेष सात पदों में से दो का चयन करना है, और फिर सात अलग-अलग अक्षरों D, S, R, B, U, O, N को शेष सात स्थितियों में व्यवस्थित करना है। का कारक$3!$denominator में उन तरीकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें हम दी गई व्यवस्था के भीतर स्वयं के बीच अनुमति दे सकते हैं बिना किसी व्यवस्था का निर्माण किए जो दी गई व्यवस्था से अलग है; का कारक$2!$denominator में उन तरीकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें हम दी गई व्यवस्था के भीतर Ts को एक व्यवस्था के निर्माण के बिना आपस में बदल सकते हैं जो दी गई व्यवस्था से अलग है।
आपके उदाहरण में, हम संयोजनों का उपयोग करते हैं क्योंकि सिर और पूंछ का अनुक्रम पूरी तरह से सिर की स्थिति का चयन करके निर्धारित किया जाता है, क्योंकि अनुक्रम की शेष स्थिति पूंछ से भरी जानी चाहिए।
सामान्य तौर पर, एक द्विपद वितरण समस्या में, हम परिणामों में से एक को सफल होने के लिए और अन्य परिणामों को विफल होने के रूप में परिभाषित करते हैं। ठीक प्राप्त होने की संभावना$k$में सफलता प्राप्त करता है$n$परीक्षण, प्रत्येक संभावना के साथ$p$सफलता का है$$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$कहाँ पे$p^k$की सम्भावना है$k$सफलताएं,$(1 - p)^{n - k}$की सम्भावना है$n - k$विफलताओं, और$\binom{n}{k}$उन तरीकों की संख्या गिनता है$k$में सफलता मिल सकती है$n$परीक्षण। ध्यान दें कि कौन सा चुनना$k$की$n$परीक्षण सफल होते हैं, परिणाम पूरी तरह से निर्धारित करते हैं यदि वास्तव में हैं$k$शेष के बाद से सफलताएँ$n - k$परीक्षणों का परिणाम असफलताओं में होना चाहिए।