बंधे हुए रूपांतरों के दृश्यों में एकरसता की भूमिका।

Aug 16 2020

याद करें कि; एक क्रम$\left\{x_{n}\right\}$ वास्तविक संख्याओं के बारे में कहा जाता है कि अगर यह हो तो विभिन्नता में अंतर होता है $$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$ धर्मान्तरण करता है।

हम जानते हैं कि अभिसरण अनुक्रम को लेने के द्वारा बंधी हुई भिन्नता का अनुक्रम नहीं होना चाहिए $x_n=\frac{1}{n}$ एक जैसे के लिए $n$ तथा $0$ विषम के लिए $n$। लेकिन मोनोटोन अभिसरण अनुक्रम के बारे में क्या? क्या वे बंधे हुए बदलाव के अनुक्रम हैं? यदि हां, तो यह कैसे साबित किया जाए?

जवाब

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 16:52

संकेत: यदि $\{x_n\}$ बढ़ती जा रही है,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$