भूमध्य रेखा के साथ झुकाव वाले एक महान सर्कल की चाप लंबाई की गणना कैसे करें $\phi°$ में टूट परा $12$ longitudes द्वारा आर्क्स $30°$ अलग?
एक बड़ा वृत्त है $\phi°$भूमध्य रेखा के लिए झुकाव। देशांतर$30°$ इसके अलावा खींचा जाता है जो भूमध्य रेखा को विभाजित करता है $12$ आकार के बराबर चाप (पृथ्वी का त्रिज्या)$*30$) है। झुके हुए महान सर्कल पर संबंधित चापों की चर लंबाई होगी। सभी के लिए उनके सबटाइटल कोणों की गणना कैसे करें$12$ आर्क्स?
मैं क्या पता लगाने में कामयाब रहा:
यहाँ आरेख है: समस्या का वर्णन
$\phi =$ महान सर्कल के निम्नतम और उच्चतम बिंदु के अक्षांशों (संकेतों की अनदेखी करना) $+/-$) है।
दोनों सर्कल के लिए आर्क लंबाई $90°$ उप-कोण कोण परिधि के चौथाई के बराबर है।
गोलाकार त्रिकोणमिति के लिए हैवेरिन नियम और साइन नियम के साथ हल करने की कोशिश की गई , लेकिन जब प्रोग्राम किया गया, तो योग$12$ आर्क्स पृथ्वी के बराबर परिधि नहीं है।
प्रेरणा:
समकोण के समकोण कोण अक्षांश और देशांतर के साथ अलग-अलग होंगे। यह गणना एक ज्योतिष सॉफ्टवेयर के लिए महत्वपूर्ण है जिसे मैं बनाने की कोशिश कर रहा हूं। किसी भी सहायता के लिए अग्रिम रूप से धन्यवाद!
जवाब
यह बेहतर हो सकता है कि क्यूमुलाट आर्क की लंबाई को कम किया जाए।
लश्कर $A$ एक बिंदु हो जहां चाप भूमध्य रेखा और हिट करता है $B$ कोई भी बिंदु हो जिससे आप आगे बढ़ते हैं $A$। चूंकि$A$ दो बिंदुओं में से एक हो सकता है, हम सामान्यता की हानि के बिना मान सकते हैं $B$ द्वारा विस्थापित किया जाता है $\le 180°$ से देशांतर$A$। इस प्रकार देशांतर विस्थापन को बुलाओ$\theta$।
खींचना $\triangle ABP$ कहाँ पे $P$या तो पोल है। फिर$\angle P$ उपायों $\theta$, चाप $AP$ उपाय 90 °, और $\angle A$ उपायों $90°-\phi$।
त्रिकोणों को हल करने में, मैं आमतौर पर साइन के बजाय कोजाइन के साथ काम करना पसंद करता हूं। कोसाइन फ़ंक्शन मोनोटोनिक है और सभी तरह से अस्पष्ट उलटा देता है$0°$ सेवा $180°$, जबकि साइन फंक्शन पास होने के साथ-साथ साइन फंक्शन अपने आप से दोगुना हो जाता है $90°$। इसलिए कॉशन कानूनों को देखें। जब आपके पास दो कोण और यहाँ के रूप में शामिल पक्ष है, तो कॉसन्स का दूसरा कानून सबसे अच्छा काम करता है। इस त्रिकोण के लिए कानून तीसरे कोण के लिए निम्नलिखित देता है$\angle B$:
$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$
यहाँ, सही शून्य पर दूसरा शब्द के रूप में बाहर $AP$ उपायों $90°$। ऊपर ज्ञात कोणों में प्लग करना फिर प्रस्तुत करता है
$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$
हम फिर उसी समय एक ही कानून लागू करते हैं, इस बार $\angle P$ बाईं तरफ:
$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$
ज्ञात मूल्यों में प्लगिंग और इस तथ्य का उपयोग करना कि $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ के लिये $0\le u\le 180°$, हमें मिला
$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$
$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$
और चाप की लंबाई के लिए यह सूत्र $AB$:
$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$