Breit-Wigner सूत्र व्युत्पत्ति
मैं कण भौतिकी में प्रतिध्वनि के लिए ब्रेइट-विग्नर फार्मूले के इस व्युत्पत्ति पर जा रहा हूं, लेकिन क्यूएम के मेरे ज्ञान के साथ चरणों को समेट नहीं सकता।
प्रारंभिक अवस्था इसके द्वारा दी गई है:
$$ \psi(t)=\psi(t=0)e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}}$$
यहाँ मेरा पहला सवाल उठता है:
- क्या स्थिति पर निर्भरता उपेक्षित है? यदि हां, तो क्यों?
फिर, यह कहा गया है
$$\textrm{Prob}(\textrm{ find state } |\psi\rangle)\propto e^{-\frac{t}{\tau}} $$
- राज्य का पता लगाना $|\psi\rangle$कहाँ पे? समय पर$t$? इसका क्या मतलब है?
अब हम इसे फूरियर द्वारा ऊर्जा डोमेन में परिवर्तित कर सकते हैं $\psi(t)$:
$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt}$$
और हमें मिलता है
$$f(E)= \dfrac{i\psi(0)}{(E_0-E)-\frac{i}{2\tau}}$$
- अगर रेंज शुरू होती है तो यह फूरियर ट्रांसफॉर्म क्यों है $0$ और नहीं $-\infty$?
- यह क्यों मान्य है? मुझे स्थिति से गति स्थान में परिवर्तित करने के लिए उपयोग किया जाता है, लेकिन समय-ऊर्जा ऐसी चीज है जो मैंने कभी क्यूएम में नहीं की।
- इसके अलावा, क्या समय eigenstates हैं? हमारे पास स्थिति और गति के लिए$|x\rangle$ तथा $|p\rangle$, लेकिन समय के लिए?
इसके बाद यह प्रक्रिया आगे बढ़ती है और इस बात की पुष्टि करती है कि राज्य को खोजने की संभावना $|\psi\rangle$ ऊर्जा के साथ $E$ द्वारा दिया गया है
$$|f(E)|^2=\dfrac{|\psi(0)|^2}{(E_0-E)^2+\frac{1}{4\tau^2}} $$
- यह नहीं होना चाहिए $|f(E)|^2\textrm{d}E$?
जवाब
मुझे डर है कि आपके अघोषित पाठ के साथ एक छाया-बॉक्सिंग है। सभी अच्छे क्यूएम टेक्स्ट इसे कवर करते हैं, लेकिन कोई यह नहीं जानता कि आप किस मुद्दे को ले रहे हैं। राज्य है$$ \psi(t)=\psi(0)~e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}},$$ इसलिए इसकी क्षय न होने की संभावना एकतरफा कम हो रही है, $$ |\psi(t)|^2 / |\psi(0)|^2 = e^{-t/\tau}, $$मानक घातीय क्षय कानून। इस तरह के कणों की संख्या के साथ गुणा करने के लिए एक थोक अस्तित्व संभावना प्राप्त कर सकते हैं, जैसे रेडियोधर्मी सामग्री का एक हिस्सा।
(1,2) किसी भी बोधगम्य अंतरिक्ष निर्भरता को एकीकृत किया गया है, क्योंकि यह क्षय के लिए अप्रासंगिक है। राज्य अंतरिक्ष में कहीं भी और हर जगह हो सकता है, और इसका क्षय अंतरिक्ष के विचारों से प्रभावित नहीं होगा - अग्रिम में सभी अंतरिक्ष अभिन्न करने का विचार करें। लहर फ़ंक्शन का वर्ग, अस्तित्व की संभावना है, पूरे ब्रह्मांड में, उस स्थिति का, और संभावना अंतरिक्ष घनत्व नहीं है। ध्यान दें कि राज्य एक हैमिल्टन आइजेनस्टेट है, लेकिन आइजनवेल्यू वास्तविक नहीं है,$E_0-i/2\tau$, क्योंकि हैमिल्टन हिर्मियनियन नहीं है। 1 की प्रारंभिक संभावना के एक अंश के रूप में राज्य के अस्तित्व की संभावना, जब आप समय को मापना शुरू करते हैं, तो इस प्रकार अनंत समय में 0 के सभी रास्ते कम हो जाते हैं।
(३) आपकी समय सीमा तब [०,$\infty$), और वह है जो आप पर एकीकृत करते हैं, इसलिए आप केवल आधा फूरियर रूपांतरण कर रहे हैं, क्योंकि पूर्ण फूरियर परिवर्तन आपको एक अनंत मूल्य (डुह!) पर वापस ले जाएगा, और आप केवल एक शुरुआत के सापेक्ष अस्तित्व की संभावना की निगरानी करना चाहते हैं। समय ०।
(४) मान्य? यह एक औपचारिक ऑपरेशन है:$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt} = \dfrac{i\psi(0)}{(E-E_0)+\frac{i}{2\tau}} ~,$$आपको अपने राज्य का वर्णक्रमीय विघटन दे रहा है, और आपके पाठ के अज्ञात अनुप्रयोगों में उपयोगी है। यह अनिवार्य रूप से प्रश्न में अस्थिर राज्य का प्रचारक है , जो क्षय के लिए आयाम प्रदान करता है।
(६) वास्तव में, सामान्य रूप से $|f(E)|^2$ई में एक संभावना घनत्व के अनुरूप होगा , एक लोरेंट्ज़ियन, या कॉची वितरण , जिसकी (पूर्ण) एफटी, जैसा कि आप देखते हैं, आपको एक$\propto e^{-|t|/\tau}$, जिनमें से आधे का उपयोग आप यहां कर रहे हैं।
(५) अस्पष्ट है ... समय एक पैरामीटर है।