चुंबकीय क्षेत्र में एक परिपत्र वर्तमान लूप के लिए टोक़ का एकीकरण [बंद]
मैं एक चुंबकीय क्षेत्र के अंदर एक परिपत्र वर्तमान लूप पर टोक़ के लिए सूत्र प्राप्त करने की कोशिश कर रहा हूं। मुझे पता है सूत्र है:
$\tau = IAB\sin{\theta}$
जहां मैं वर्तमान है, बी चुंबकीय क्षेत्र है और ए क्षेत्र है।
मेरा अब तक का प्रयास:
$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$
अब, यदि टोक़ के लिए सूत्र है: $\tau=bF\sin{\theta}$, तथा $b = r\sin{\alpha}$, फिर
$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$
अंत में, अगर मैं इस अंतिम समीकरण का अभिन्न अंग हूं, तो मैं ठीक से समझ नहीं सकता कि कैसे एकीकृत किया जाए $\sin{\alpha}^2\,ds$।
मुझे लगता है कि मेरी अंतर्निहित गलतफहमी यहाँ है: मैं बता सकता हूँ कि क्या अभिन्न है $d\vec{s}\times \vec{B}$होगा, क्योंकि मैं वृत्त का व्यास जानता हूं। हालांकि, मुझे लगता है कि व्यक्त करने का कोई तरीका नहीं है$\sin{\alpha}$ इसके संबंध में $ds$।
क्या मुझे यह गलत लग रहा है? धन्यवाद
जवाब
आपने वेक्टर नोटेशन का उपयोग नहीं किया इसलिए यह काफी भयानक प्रतीत होता है। साथ ही, आपने उपयोग किया है$M$ टोक़ के लिए (यह होना चाहिए) $\tau$) के बजाय चुंबकीय क्षण के लिए (जो आमतौर पर स्वीकृत प्रतीक हैं)।
प्रमाण:
एक गोलाकार लूप अंदर आता है $x-y$ समतल के साथ विमान $r$ और मूल में केंद्र $O$। यह एंटी-क्लॉकवाइज दिशा में एक निरंतर प्रवाह ले रहा है। एक समान चुंबकीय क्षेत्र है$\vec B$ सकारात्मक के साथ निर्देशित $x$-एक्सिस।
एक तत्व पर विचार करें $d\vec s$ एक कोण पर अंगूठी पर $\theta$ एक कोण घटाना $d\theta$मूल पर। इस तत्व पर टोक़ द्वारा दिया गया है
$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$
नोट: मैंने गणना भाग को छोड़ दिया है। इसके अलावा, आप भी ले सकते हैं$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, मैंने ही लिया है $x$सादगी के लिए असंगत। नतीजा वही निकलेगा। कंडक्टर के आकार के साथ भी, कोई फर्क नहीं पड़ता कि वर्ग या सर्कल।
मैंने यह महसूस करके इसे हल किया कि वास्तव में डी.एस. $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ लंबाई राग सूत्र द्वारा।
संक्षेप में, वास्तव में लिखने से $d\vec{s}\times \vec{B}$ के अनुसार $\alpha$।