दिखाएँ कि एक बढ़ते कार्य में व्युत्पन्न है $0$ ऐ
लश्कर $0<p<1$ और परिभाषित करते हैं $F:[0,1]\rightarrow[0,1]$ द्वारा $$F(x)=\begin{cases} pF(2x),&x\in\left[0,\frac12\right]\\ p+qF(2x-1),&x\in\left[\frac12,1\right] \end{cases}$$ कहाँ पे $q=1-p$। मैं यह साबित करना चाहूंगा$F'(x)=0$ ऐ
मैं काइल सिजर्स्ट द्वारा "हाउ टू गैंबल इफ यू मस्ट" के माध्यम से अपना काम कर रहा हूं , जो मूल रूप से अभ्यासों की एक श्रृंखला है।$F(x)$ संभावना है कि एक जुआरी एक बैंकरोल के साथ शुरू होता है $0\leq x\leq 1$ के अपने लक्ष्य तक पहुँच जाएगा $1$यदि वह लाल और काले रंग के खेल में "बोल्ड प्ले" में संलग्न है। जब उसका बैंकरोल है$\leq\frac12$ वह यह सब शर्त, संभावना के साथ राशि शर्त जीतने $p$, और संभावना के साथ इसे खोना $q$। जब उसका बैंकरोल है$>\frac12$, वह लक्ष्य तक पहुंचने के लिए पर्याप्त दांव लगाता है, अर्थात $1-x$।
अभ्यास में, मैंने दिखाया है कि एक अनूठा कार्य है $F$ऊपर दिए गए कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करना, और यह निरंतर और सख्ती से बढ़ रहा है। निम्नलिखित व्यायाम$33$, लेखक टिप्पणी करता है कि कब $p\neq\frac12$, $F'(X)=0$ ae, ताकि $F$एक शैतान की सीढ़ी है। मैं इस कथन को साबित करने की कोशिश कर रहा हूं। (मुझे पता है कि एक बढ़ता हुआ फंक्शन डिफरेंशियल है ae यह वैल्यू है जिससे मैं परेशान हूं।)
अस्पष्ट $50$माप सिद्धांत की पुरानी यादों ने मुझे प्रलोभन 3.31 में फॉलैंड के "रियल एनालिसिस" में बुद्धि के लिए प्रेरित किया।
अगर $F\in NBV, \text{ then }F\in L^1(m).$ इसके अलावा, $\mu_F\perp m \text{ iff } F' =0$ ae, और $\mu_F \ll m \text{ iff } F(x)=\int_{-\infty}^xF'(t)dt. $
यहाँ $m$ Lebesgue माप है, और ae Lebesgue माप के संबंध में है। $\mu_F$ द्वारा परिभाषित बोरेल माप है $\mu_F([a,b])=F(b)-F(a)$। Folland का उपयोग करता है$NBV$ उसका मतलब है $F$ बंधी हुई विविधता का है, $F(-\infty)=0$ तथा $F$सही है यह कोई समस्या नहीं है, क्योंकि हम विस्तार कर सकते हैं$F$ सेवा $\mathbb{R}$ परिभाषित करके $F(x)=0$ के लिये $x<0$ तथा $F(x)=1$ के लिये $x>1$।
तो यह दिखाने के लिए नीचे आने लगता है $\mu_F\perp m$। इसका मतलब यह है कि वहाँ एक है$E\subset[0,1]$ साथ में $m(E)=0$ तथा $\mu_F(E)=1$अगर मै गलत नहीं हूँ। मैं यह कैसे साबित करने के लिए नहीं देखता। वास्तव में यह मेरे लिए बिल्कुल संभव नहीं लगता है, इसलिए मुझे कुछ गलत समझना चाहिए।
अभ्यास 29 में, मैंने यह साबित कर दिया $$F(x)=\sum_{n=1}^\infty p_{x_1}\cdots p_{x_{n-1}}px_n$$ कहाँ पे $x_i$ बिट संख्या है $i$ का $x$, तथा $p_0=p,\ p_1=q$। (कब$x$ एक रागादिक तर्क है, हम समाप्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं।) यदि हम जीत का प्रतिनिधित्व करते हैं $1$ और नुकसान $0$, इसका मतलब यह है कि जुआरी लक्ष्य तक पहुँचता है अगर और तभी जब उसके बैंकरोल में थोड़ा सा इसी गेम बिट से मेल खाता है, वे बिट्स दोनों हैं $1$। यह सबसे ठोस प्रतिनिधित्व है$F$ कागज में, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह कैसे मदद करता है।
क्या आप मेरे लिए इस पर कोई प्रकाश डाल सकते हैं?
जवाब
पहले ध्यान दें $F$ यादृच्छिक चर का cdf है $X:=\sum_1^{\infty} 2^{-n} \xi_n$ जहां $\xi_n$ इद बर्नौली हैं$(p)$यादृच्छिक चर। दरअसल, यह स्पष्ट है कि$X = \frac12\xi_1+\frac12 Y$, कहाँ पे $Y$ के समान वितरण है $X$ और स्वतंत्र है $\xi_1$। यह रिश्ता देता है$$P(X\le x) = P(X\le x|\xi_1=0)P(\xi_1=0)+P(X \le x|\xi_1=1)P(\xi_1=1) $$$$= (pP(Y\leq 2x)+q\cdot 0)1_{\{x \le 1/2\}} + (p\cdot 1 +qP(Y\leq 2x-1))1_{\{x >1/2\}},$$ जो वास्तव में के लिए संबंध है $F$।
अब बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा ध्यान दें $X$ उन वास्तविक संख्याओं के सेट पर समर्थित है जिनके बाइनरी विस्तार में एसिम्प्टोटिक घनत्व है $p$ का $1$का (या समतुल्य, विषमता घनत्व है $q$ का $0$'एस)।
लेकिन ऐसे सभी वास्तविक नंबरों के सेट में Lebesgue का माप शून्य है। दरअसल, अगर हम समान रूप से एक वास्तविक संख्या का नमूना लेते हैं$[0,1]$, तब इसके द्विआधारी अंक Iid Bernoulli हैं$(1/2)$, इस प्रकार लगभग निश्चित रूप से स्पर्शोन्मुख घनत्व है $1$का है $1/2$, नहीं $p$।
हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कानून $X$ Lebesgue माप के संबंध में एकवचन है, जो उस स्थिति के बराबर है $F'=0$ ae।