दिखाओ कि अगर $a,b \in \mathbb{R}^n$, फिर $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$

Question

दिखाओ कि अगर $a,b \in \mathbb{R}^n$, फिर $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$

हमारे पास वह है $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$

और वह $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$

हालाँकि मैं नहीं देखता कि मैं यहाँ से कैसे आगे बढ़ सकता हूँ। अगर मैं लेता हूँ$||a||-||b||$ मै समझ गया $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$

जो बिल्कुल मदद नहीं करता है। मैं यहाँ क्या करना है?

Answer 1

$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$

इसलिये $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$।

इसी तरह हमारे पास है $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$

इसलिये $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$

अर्थात् $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$

Answer 2

डरपोक चाल: लिखना $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$, और सीधे त्रिकोण असमानता का उपयोग करें।

Answer 3

जैसा कि @Siong Thye Goh ने पहले ही समाधान कर दिया था, मैं एक बात का उल्लेख करूंगा।

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$\blacksquare~$ दावा: किसी भी वेक्टर उपक्षेत्र के लिए $(X, \| \cdot \|)$ का $~\mathbb{K}^{n}$, हम निम्नलिखित असमानता संतुष्ट हैं। \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}

$\blacksquare~$प्रमाण: हमारे पास है$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} फिर $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$

इसलिए, हमारे पास ऐसा है $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$।

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किसी के लिए असमानता का उपयोग करना $x, x_0 \in X~$ के लिये $(X, \| \cdot \|)$ एक आदर्श रेखीय स्थान है और $X$ का एक उप-स्थान है $\mathbb{R}^n$, हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण दावा है।

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$\bullet~$ दावा: नक्शा$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$है सतत या दूसरे शब्दों में, आदर्श $\| \cdot \|$है निरंतर।

$\bullet~$ प्रमाण: निरंतरता की परिभाषा से, हमारे पास किसी भी के लिए है$\epsilon > 0$, वहां मौजूद $\delta > 0$ ऐसा है कि
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} पिछली समस्या से हमारे पास असमानता है \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} हमें अपना लेने दो $\epsilon = \delta$। इसलिए हमारे पास है\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} जिससे पता चलता है कि नक्शा $\| \cdot \|$है निरंतर पर$x_{0}$। जैसा$x_{0}$है मनमाने ढंग से , तो समारोह$\| \cdot \|$पूरे स्थान पर निरंतर है $X$।

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यह किसी भी मानक के परिमित आयामी वेक्टर उप-स्थान पर निरंतर होने का महत्वपूर्ण प्रमाण बनाता है$\mathbb{K}^n$।

प्रश्न से संबंधित नहीं है, लेकिन स्पैम से कोई अंतर नहीं है :)