दो नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल का अनुपात
नीचे दिए गए चित्र में बहुभुज सभी नियमित बहुभुज (नियमित हेप्टागन) हैं, एक शीर्ष साझा करते हैं और नारंगी रेखा दो नियमित बहुभुज के तीन कोने को पार करती है, छोटे नियमित बहुभुज का क्षेत्र और बड़े नियमित बहुभुज को निरूपित किया जाता है। $S_1$, $S_2$, क्या है $\frac{S_1}{S_2}$?
अतिरिक्त प्रश्न (नियमित नौ-पक्षीय बहुभुज)
जवाब
गणना के माध्यम से नहीं जाना होगा, लेकिन यह विचार है।
पहले के बाद से $\triangle ADE$ तथा $\triangle BDF$ समान हैं, हम जानते हैं $AE$ निकासी $G$।
अब हम गणना कर सकते हैं $DG$,$GC$,$AG$ बाएं हेप्टागन और उसके बाद से $AD\parallel CE$ हम गणना कर सकते हैं $GE=GC\cdot {AD\over DG}$। यह भी हम जानते हैं$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$।
इसलिये $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$।
अगर आप दें $a=DG,b=DA,c=DB$, यहाँ कुछ पहचान हैं
पहचान का उपयोग करना, $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$
नया संपादन: वास्तव में सिर्फ एहसास हुआ $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ इसलिए $GE$ वास्तव में बस है $b$।
अब गणना वास्तव में सरल है:
$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$
तो क्षेत्र बिल्कुल दो बार है।
भाग का समाधान $2$ (अतिरिक्त समस्या):
लश्कर $I$ बिंदु जहां हो $AD$ खतना को काटना $O$ का $\triangle ABC$। जुडिये$IO$। जबसे$AI$ एक कोण द्विभाजक है $BI=CI$।
ट्रेपोजॉइड को देखना आसान है $BDEC$ सम्मान के साथ सममित है $IO$। और भी$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ इसलिए $\angle IBD=50^{\circ}$।
अब छोडो $\angle IDB=x$। उपरोक्त जानकारी का उपयोग करते हुए कोण अनुरेखण के साथ$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$।
अगर $ID>DB=DE$, तो हमारे पास हैं $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ तथा $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ इसलिए $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ जो असंभव है।
अगर $ID<DB=DE$, तो हमारे पास हैं $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ तथा $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ इसलिए $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ जो असंभव है।
इसलिये $ID=DB=DE$ तथा $\triangle IDE$ समबाहु है, इसलिए $\angle IDE=60^{\circ}$ तथा $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$। इसलिये$BD \perp AC$।
($N$ सिर्फ $C$ फिर से लेबल)
शेष एक बार सरल है $BD\perp AC$। हम ढूंढ सकते हैं$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$।
जबसे $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ और क्षेत्र का अनुपात ठीक है $3$।