दो प्राकृतिक संख्याओं के बीच वर्गों की संख्या

Question

प्राकृतिक संख्या दी $m>n\in \mathbb{N}$ कितने वर्ग के बीच है $m$ तथा $n$? यानी, कितने प्राकृतिक नंबर$k\in \mathbb{N}$ उस पर संतोष करें $n \leq k^2\leq m$?

मुझे लगता है कि अगर हमें सबसे बड़ा वर्ग पता होता $k^2=s\leq m$ और सबसे छोटा वर्ग $\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, तो मैं देख रहा हूँ वर्गों की संख्या होगी $k-\tilde{k}+1$, लेकिन इन वर्गों को खोजने का एक सरल तरीका है? मैं एक सीमा के साथ ठीक होगा जो आकार के कार्य हैं$m-n$।

Answer 1

दो प्राकृतिक संख्याओं के बीच वर्गों की संख्या $m$ तथा $n$ = $\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$।

प्रमाण: चलो$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$ कहां है $a$ सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जिसका वर्ग इससे बड़ा या बराबर है $n$ तथा $a+s$ सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या है जिसका वर्ग मी से कम या उसके बराबर है।

अब, साधारण अवलोकन से, $\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$ तथा $\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$ और दो प्राकृतिक संख्याओं के बीच वर्गों की संख्या है $s+1$।