एक आदर्श प्रक्षेप्य गति में अधिकतम दूरी
एक प्रक्षेप्य गति में, प्रक्षेप्य से प्रक्षेपित होने पर विचार करें $(0,0)$कार्टेसियन कुल्हाड़ियों पर होने का पता लगाया। फिर प्रक्षेपवक्र द्वारा दिया जाता है$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ कहाँ पे $\theta$ से मापा जाता है $x$ अक्ष, और गुरुत्वाकर्षण के साथ कार्य करता है $y$ एक्सिस, $R$ अधिकतम सीमा के लिए खड़ा है जो प्रारंभिक वेग के साथ भिन्न हो सकता है जिसकी परिमाण है $v$।
एक सामान्य वक्र के चाप लंबाई सूत्र का उपयोग करना, $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ हम फार्म डी = के अभिन्न अंग के रूप में तय की गई दूरी प्राप्त करते हैं$\sqrt{ax^2+bx+c}$
एक इंटरैक्टिव मॉडल यहां पाया जा सकता है।
मेरा प्रश्न: मैं किस कोण पर खोजूं$\theta$ प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई दूरी को अधिकतम तय किया जाएगा $v$।
मैंने करने की कोशिश की $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ लेकिन इसने मुझे एक अज्ञात दिया $\frac{dx}{d \theta}$, मैं आगे संपर्क करने में असमर्थ हूं, इसलिए मैंने यहां एक ग्राफ बनाया और पाया कि यह निकट है$56.4^\circ$ लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह तय हो गया है।
जवाब
आपका तरीका शुरुआत में बहुत बुरा नहीं है, सिवाय इसके कि आपको लगता है कि आपने अनदेखा किया है (या कम से कम स्पष्ट रूप से नहीं कहा गया है) $R$ निर्भर करता है $\theta$साथ ही, जो कि इस समस्या को हल करने में काफी कठिन बनाता है। अगर मैंने आपको सही तरीके से समझा है, तो आप इसका मूल्य खोजना चाहेंगे$\theta$ (एक निश्चित गति के लिए $u$) जो हवा में प्रक्षेप्य की कुल लंबाई को अधिकतम करता है। इस मामले में, जैसे डेरिवेटिव लेते हैं$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$समझदार नहीं है। वे चर जिन्हें आप सम्मान के साथ अधिकतम करना चाहते हैं$a,b,$ तथा $c$, क्योंकि आप से अधिक हो जाएगा $x$!
शुरू में मैं आश्वस्त था कि इस समस्या का एक सरल विश्लेषणात्मक परिणाम होना चाहिए, ऐसा लगता है कि ऐसा नहीं है! जहां तक मैं देख सकता हूं, वास्तव में इसे हल करने के लिए, आपको संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है। अगर किसी को बेहतर तरीके से पता है, तो मुझे बहुत दिलचस्पी होगी। मुझे समझाने दो कि मैंने क्या किया।
मैंने निम्नलिखित धारणाएँ बनाने का निर्णय लिया:
कुल वेग (एक स्थिर) 1 है। यह कोई समस्या नहीं है, मैंने सिर्फ इकाइयाँ चुनी हैं $u=1$, जो पूरी तरह से स्वीकार्य है।
मैं केवल अलग हो जाएगा $u_y$, उपरोक्त बाधा दी। का मूल्य$u_x$ द्वारा तय किया जाएगा $\sqrt{1 - u_y^2}$।
जैसा कि आपने बताया है (लेकिन थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया गया) प्रोजेक्टाइल द्वारा कवर की गई कुल लंबाई है:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(इस मामले में, मैंने समय के अनुसार वक्र को मापना चुना है $t$, जो मैं से एकीकृत $t=0$ सेवा $t=2 u_y/g$, जो आसानी से उड़ान के कुल समय के लिए दिखाया जा सकता है। आप इसे अपने तरीके से भी कर सकते हैं।)
इस तथ्य का उपयोग करना
\ start {समीकरण} \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ अंत {समीकरण}
यह दिखाना आसान है
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
इस तरह के समय में, यह समीकरण को "एडिमिनेटाइज़" करने के लिए उपयोगी है, ताकि सीमाएं निर्भर न हों $u_y$। हम एक "आयाम रहित" समय को परिभाषित कर सकते हैं$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ ताकि अभिन्न हो जाए:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
जो हाथ से हल करने के लिए काफी बुरा अभिन्न है। शायद Math.SE पर लोगों को यह न्याय करने में सक्षम होगा? मैंने इसे हल करने के लिए गणितज्ञ का उपयोग करने का फैसला किया ।
मैंने पहले फ़ंक्शन को संख्यात्मक रूप से एकीकृत किया और विभिन्न मूल्यों के लिए अभिन्न को साजिश रची $u_y$ जैसा कि नीचे दिखाया गया है, और यह जानकर आश्चर्य हुआ $L$ का अधिकतम मूल्य था (मेरा प्रारंभिक विचार शायद यही था) $u_y$ 0.82 और 0.84 के बीच कहीं।
इसे देखते हुए, मुझे समारोह को एकीकृत करने के लिए गणितज्ञ मिला और यह पाया गया
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
जहां इकाइयों का उपयोग करने से हमें कुछ भी नहीं रोक रहा है $u=1$ और इसीलिए $u_y \in (0,1)$, और इन इकाइयों में
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
इसके बाद, मैंने इसे एक समारोह के रूप में अधिकतम करने का प्रयास किया $u_y$ व्युत्पन्न लेने के लिए और यह शून्य के बराबर है, जो करने के लिए जाता है:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
यह एक पारलौकिक समीकरण है और जैसे आसानी से हल नहीं होता। लेकिन इसे खोजने के लिए संख्यात्मक रूप से इसे हल करना बहुत कठिन नहीं है$L$ जब अधिकतम हो जाता है $$u_y = 0.833557,$$
जिस सीमा में हम उम्मीद करते हैं। यह के कोण से मेल खाती है$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$