एक बीजीय किस्म के कितने छेद हो सकते हैं?
लश्कर $V$ के एक बंद subvariety हो $\mathbf{P}^n$। (हम एक बीजीय रूप से बंद क्षेत्र में काम करते हैं।) परिभाषित करें$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ द्वारा $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, कहाँ पे $P_0$ बात है $(0,0,...,0,*)$ में $\mathbf{P}^n$।
काश $\pi$ सभी में परिभाषित किया गया $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ के एक बंद subvariety होगा $\mathbf{P}^{n-1}$। यह नहीं है, और$V$ जरूरत नहीं है एक बंद subvariety होना चाहिए $\mathbf{P}^{n-1}$। (आसान उदाहरण:$V:x_0^2 = x_1 x_2$।) क्या अब भी कोई ऐसा कह सकता है $\pi(V)$ शामिल $\overline{\pi(V)}\setminus W$, कहाँ पे $W$ में सकारात्मक कोडिमेंशन की एक बंद उप-विविधता है $\overline{\pi(V)}$ और डिग्री $\leq \deg(V)$, बोलो कैसे?
जवाब
एक रूपवाद प्राप्त करने के लिए उड़ा $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$। लश्कर$\widetilde{V}$ का समुचित रूपांतर हो $V$ में $Bl_{P_0}\mathbf P^n$। फिर$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$।
अब हम लिख सकते हैं $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ कहाँ पे $C_{P_0}V$ की स्पर्शरेखा शंकु है $V$ पर $P_0$।
इसलिए $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (जो आपके अंकन में है $\pi(V)$) शामिल है $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$।
जैसा कि ऊपर उल्लेखित है, $\Pi(\widetilde{V})$ बराबरी $\overline{\pi(V)}$। इसके अलावा,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ असाधारण भाजक का एक बंद उपसमूह है $E$, तथा $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ एक समरूपता है।
तो हमें वह मिलता है $\pi(V)$ (आपके अंकन में) समाहित है $\overline{\pi(V)} \setminus W$ कहाँ पे $W \subset \mathbf P^{n-1}$ एक बंद उपसमूह समसामयिक स्पर्शरेखा शंकु के प्रक्षेपवक्र के लिए है $V$ पर $P_0$।
बंद सेट $W$ आयाम है $\operatorname{dim}(V)-1$। दूसरी ओर,$\pi(V)$ के रूप में एक ही आयाम है $V$ जब तक $V$ एक शंकु है, जिसके शीर्ष में शिखर होता है $P_0$, लेकिन उस मामले में $\pi(V)$ एक बंद सेट है।
डिग्री के लिए, की डिग्री $\mathbf P(C_{P_O}V))$के उप-समूह के रूप में$E$ की बहुलता के बराबर है $V$ पर $P_0$, इसलिए ऊपर से घिरा हुआ है $\operatorname{deg}(V)$। जबसे$W$इस योजना के अंतर्निहित बंद सबसेट के लिए (समसामयिक) है, इसकी डिग्री योजना की तुलना में अधिक नहीं है। तो हमारे पास$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ जैसी ज़रूरत।