एक परिमित समूह और उसके अभ्यावेदन का रैंक
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$चलो $G$ एक परिमित समूह हो, और $C=\Rep(G)$ जटिल परिमित-आयामी अभ्यावेदन का एकेश्वर वर्ग हो $G$। जैसा$C$ परिमित और अर्धविराम है, जिससे सभी अभ्यावेदन प्राप्त कर सकते हैं $\oplus$ और एक निश्चित सेट $I$अतार्किक विचारों का प्रतिनिधित्व करते हैं। शास्त्रीय चरित्र सिद्धांत द्वारा, बीच में एक (गैर-विलक्षण) जीव है$I$ तथा $\mathrm{Conj}(G)$। इस सूत्र में, मैं एक पक्षपात को समझने की आशा करता हूं, यदि कोई हो, दोनों पक्षों के बीच विचार के साथ$\otimes$।
अधिक सटीक होने के लिए, चलो $V$ का एक विडंबनापूर्ण वफादार प्रतिनिधित्व हो $G$। तब हर प्रतिनिधित्व एक उपखंड के रूप में होता है$V^{\otimes n}$ कुछ के लिए $n$(सीएफ इस और यह ), और इसके विपरीत! हम तो यही कहते हैं$V$ खुद उत्पन्न करता है $C$ के अंतर्गत $\otimes$और कॉची पूरा। हालांकि, हर समूह में एक गैर- जिम्मेदार वफादार प्रतिनिधित्व नहीं है। उसी पोस्ट में , हम देख सकते हैं कि यह काफी हद तक सोशले के "रैंक" से संबंधित है$G$।
संक्षेप में, रैंक को परिभाषित करने के लिए, $\rank(G)$, उत्पन्न करने के लिए आवश्यक तत्वों की न्यूनतम संख्या होना $\mathrm{socle}(G)$संयुग्मन के तहत। रैंक परिभाषित करें,$\rank(C)$, उत्पन्न करने के लिए आवश्यक अप्रासंगिक तत्वों की न्यूनतम संख्या होना $C$ के अंतर्गत $\otimes$और कॉची पूरा। फिर
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
सवाल
क्या यह तुल्यता सामान्यीकरण करता है
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n$?
( संपादित के रूप में Qiaochu टिप्पणी में बताया, इस Pontrjagin द्वंद्व से परिमित अबेलियन समूहों के लिए भी सही है।)
जवाब
आपके प्रश्न का उत्तर हाँ है और पेपर mainमुद, ʹ का मुख्य प्रमेय है। परिमित समूहों के एम। आइसोमोर्फिक रैखिक प्रतिनिधित्व पर। चटाई। Sb। एनएस 38 (80) (1956), 417-430।
यह चार समूहों के परिमित समूहों के पृष्ठ 245 पर प्रमेय 5 में पाया जा सकता है। भाग 1. बेरकोविच और ʹmud by द्वारा। प्रमेय को एक अलग, लेकिन समकक्ष तरीके से प्रदर्शित किया जाता है, और गैसचुट्ज़ प्रमेय के समान तरीके से साबित होता है।
ʹMudʹ के प्रमेय का कहना है कि $G$ के साथ एक वफादार प्रतिनिधित्व किया है $k$ अगर और केवल अगर सामाजिक व्यवस्था के टुकड़े टुकड़े हो जाएं $G$ अधिक से अधिक सामान्य उपसमूह के रूप में उत्पन्न किया जा सकता है $k$तत्व। विशेष रूप से, सामान्य जनरेटर की कम से कम संख्या$\mathrm{socle}(G)$ के कुछ वफादार प्रतिनिधित्व में कम से कम अप्रासंगिक घटकों के साथ मेल खाता है $G$।
यह अब निरीक्षण करने के लिए पर्याप्त है $\mathrm{rank}(C)$ की एक वफादार प्रतिनिधित्व में irreducible घटक की न्यूनतम संख्या है $G$। वास्तव में, यदि$V$ कोई वफादार प्रतिनिधित्व है, तो बर्नसाइड प्रमेय (या आर। स्टाइनबर्ग के सामान्यीकरण) से पता चलता है कि हर इर्रिड्यूबल मॉड्यूल एक प्रत्यक्ष समता है जो एक टेंसर पावर में है $V$ और इसलिए के अतार्किक क्षेत्र $V$ उत्पन्न करते हैं $C$टेनर उत्पाद के तहत, प्रत्यक्ष रकम और प्रत्यक्ष सारांश ले रहा है। दूसरी ओर, यदि$\rho_1,\ldots, \rho_k$ इरेड्यूसबल अभ्यावेदन जिनकी प्रत्यक्ष राशि वफादार नहीं है, तो $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ प्रत्यक्ष राशि, टेनर उत्पाद और सीधे समन के संचालन के तहत इसी सरल मॉड्यूल द्वारा उत्पन्न उपश्रेणी में सभी मॉड्यूल पर पहचान के रूप में कार्य करता है और इसलिए ये अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व उत्पन्न नहीं कर सकते हैं $C$।
इस प्रकार $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$