एक पुनरावृत्ति योजना के लिए अभिसरण की स्थिति
चलो $A$एक एकवचन और सममितीय मैट्रिक्स बनें, साथ$\lambda_1=0$ तथा $\lambda_i >0$ के लिये $i=2,\ldots,n$।
विचार करें
$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$
किन शर्तों के तहत $x_0$, $\alpha$ तथा $b$, क्या यह सही समाधान के लिए अभिसरण करता है $Ax =b$?
मैं वास्तव में स्थानांतरित नहीं कर सकता। मैंने गणना करने की कोशिश की$e_{k+1}$लेकिन मुझे कोई उपयोगी संबंध नहीं मिला। इसके अलावा, मैं नहीं जानता कि कैसे कुछ बाधाओं को खोजने के लिए$x_0$।
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मैंने @ टिप्पणी का अनुसरण करने की कोशिश की और मैंने पाया: $$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$
जैसा कि मैं लिखता हूं (निरंतरता का उपयोग करके) $$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$
इसलिए $$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$
अब मुझे वर्णक्रमीय त्रिज्या से कम की आवश्यकता होगी $1$, लेकिन जबसे $$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$ मेरे पास पहला ईजेनवल्यू है $1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$
इसलिए मैं अभिसरण के बारे में कुछ नहीं कह सकता ... एक और तरीका होना चाहिए। वास्तव में, मैंने समरूपता का उपयोग नहीं किया और साथ ही किसी भी स्थिति पर नहीं$x_0$, पाठ में लेखन के रूप में
जवाब
थोड़ा इशारा।
जैसा कि मैंने टिप्पणियों में कहा, आइजनवेल्यू आधार पर विचार करें। आधार वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं और एक ऑर्थोनॉमिक आधार बनाने के लिए बढ़ाया जा सकता है:$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$
आधार पर त्रुटि वैक्टर का विस्तार करना $e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$विस्तार गुणांक का उपयोग करके अभिसरण की स्थिति को फिर से लिखने की अनुमति देता है। पार्सेवल की पहचान का उपयोग करना$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$ हम वह प्राप्त करते हैं $e_k \to 0$ अगर सभी के लिए ही होता है $m$ प्रत्येक गुणांक शून्य में परिवर्तित होता है, अर्थात $$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$
के साथ अभिनय कर रहे हैं $(I - \alpha A)^k$ पर $e_0$ अलग-अलग प्रत्येक स्वदेशी पर कार्य करता है: $$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$
दाएं हाथ की तुलना के साथ $\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$ हम तुरंत संबंध प्राप्त करते हैं $$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$
अब यह आप पर निर्भर है कि कब क्या स्थितियां होंगी $\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$ हर एक के लिए $m = 1,\dots,n$।