एक सीमा के बारे में: स्पष्ट स्पष्टीकरण की आवश्यकता

Aug 17 2020

हमारे पास है, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

और यह ठीक है, लेकिन मैं इसके लिए निश्चित नहीं हूं $p\in \mathbb{R}$, मेरा सवाल यह है कि क्या यह सच है $p\in \mathbb{R}$?

मैंने सिंबल ऑनलाइन कैलकुलेटर में इस सीमा के मूल्य की गणना करने की कोशिश की है $p =some$ $fraction$ $number$, लेकिन यह दिखाता है $0$उत्तर के रूप में। इस मामले का स्क्रीनशॉट संलग्न है।

तथा

क्या कोई मुझे दृष्टिकोण प्रदान कर सकता है या यहां तक ​​कि उपर्युक्त आंकड़े को साबित करने या बाधित करने के लिए संकेत दे सकता है?

अग्रिम में धन्यवाद!

जवाब

1 Bernard Aug 17 2020 at 21:46

यह किसी के लिए भी सच है $p> -1$। यह वास्तव में रीमैन योग है:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ समारोह के लिए $f(x)=x^p$, सीमा के साथ $0$ तथा $1$, इसलिए यह अभिसरण करता है $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

1 user Aug 17 2020 at 21:39

संकेत

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$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$