एक सीमा के बारे में: स्पष्ट स्पष्टीकरण की आवश्यकता
हमारे पास है, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$
और यह ठीक है, लेकिन मैं इसके लिए निश्चित नहीं हूं $p\in \mathbb{R}$, मेरा सवाल यह है कि क्या यह सच है $p\in \mathbb{R}$?
मैंने सिंबल ऑनलाइन कैलकुलेटर में इस सीमा के मूल्य की गणना करने की कोशिश की है $p =some$ $fraction$ $number$, लेकिन यह दिखाता है $0$उत्तर के रूप में। इस मामले का स्क्रीनशॉट संलग्न है।
क्या कोई मुझे दृष्टिकोण प्रदान कर सकता है या यहां तक कि उपर्युक्त आंकड़े को साबित करने या बाधित करने के लिए संकेत दे सकता है?
अग्रिम में धन्यवाद!
जवाब
यह किसी के लिए भी सच है $p> -1$। यह वास्तव में रीमैन योग है:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ समारोह के लिए $f(x)=x^p$, सीमा के साथ $0$ तथा $1$, इसलिए यह अभिसरण करता है $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$
संकेत
Stoltz-Cesaro को प्राप्त करने के लिए उपयोग करें
$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$