एकता की जड़ों के बिना कुमेर का विस्तार पत्राचार (सर्ज लैंग)
मैं निम्नलिखित समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा हूं।
चलो $k$ विशेषता का एक क्षेत्र हो $0$। मान लें कि प्रत्येक परिमित विस्तार के लिए$E$ का $k$, अनुक्रमणिका $(E^* : E^{*n})$प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए परिमित है। प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए दिखाएँ$n$, वहाँ केवल एक सीमित संख्या में एबेलियन एक्सटेंशन मौजूद है $k$ की डिग्री $n$।
अगर $k$ एकता की एक मूल n-th जड़ है, एक के विस्तार के एक-से-एक पत्राचार का उपयोग कर सकता है $k$ के घटक n और उपसमूहों के $k^*$ की n-th शक्तियों वाले n-th शक्तियाँ $k$। इस मामले के लिए हल करने के तरीकों में से एक इस पोस्ट के उत्तर में है: कुमेर के क्षेत्र और गैलोज उपसमूह के बीच की आपत्ति का पता लगाएं ।
लेकिन के लिए $k$ एकता की n- वीं जड़ें नहीं होने से, क्या हमारे बीच किसी भी तरह का पत्राचार है, कहते हैं, $k$ के विस्तारक मीटर और एबेलियन विस्तार $k(\zeta)$ of exponent n, whence $\zeta$ क्या एक आदिम n- वीं एकता की जड़ है?
मैंने देखा कि अबेलियन का विस्तार $k$ प्रतिपादक n में विस्तार डिग्री से अधिक विस्तार की डिग्री नहीं है $k(\zeta)$ के विस्तार का $k(\zeta)$ एक ही सेट द्वारा उत्पन्न एन के घटक, द्वारा गुणा किया जाता है $\varphi(n)$, जहां $\varphi(n)$ यूलर फ़ंक्शन को दर्शाता है।
एक और अवलोकन: मान लें $k$एकता की n- वीं जड़ें नहीं है। आज्ञा देना एच एक उपसमूह है$k^*$ की n-th शक्तियों वाले n-th शक्तियाँ $k$, तब फिर $H$ तथा $\zeta^j$ एक साथ एक उपसमूह उत्पन्न करता है $k(\zeta)^*$ की n-th शक्तियों वाले n-th शक्तियाँ $k(\zeta)$।
जवाब
चलो $L/k$ अधिकतम डिग्री के सभी एबेलियन एक्सटेंशन की रचना हो $n$ ऊपर $k(\zeta_n)$। जबसे$k$ विशेषता शून्य है, $L/k$वियोज्य है। उसके बाद से$k(\zeta_n)$ सब है $n$एकता की जड़ें, आप पहले से ही जानते हैं $L/k$परिमित है। अगर$E/k$ डिग्री का एक विस्तार है $\leq n$, तब फिर $E(\zeta_n)$ का एक विस्तार है $k(\zeta_n)$ की डिग्री $\leq n$, इसलिये $E\subset E(\zeta_n) \subset L$। जबसे$L/k$अलग करने योग्य है, इसमें सबसे सूक्ष्म रूप से कई सूक्ष्मताएं हैं। इसलिए संभव का सेट$E$ परिमित है।