एकवचन मान पर बँधा हुआ

Question

चलो $M \in \mathbb{R}^{d\times d}$एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स हो। क्या दो मात्राओं से संबंधित एक कम / ऊपरी बाध्य या समानता है$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$ दाईं ओर का सबसे छोटा एकवचन का वर्ग है $A$। उस पर भी ध्यान दें$u^* A u$ जबकि शुद्ध काल्पनिक होना चाहिए $u^* A^T A u$ वास्तविक होना चाहिए।

दरअसल, स्टीफन द्वारा नीचे टिप्पणी से पता चलता है कि बाएं हाथ की तरफ शून्य है। सामान्य मैट्रिसेस के बारे में क्या$A$जरूरी नहीं कि एंटीसिममेट्रिक?

Answer 1

कॉफ़ी-शारज़ असमानता की ओर इशारा करने के लिए धन्यवाद स्टीफन: हमारे पास है $$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$ सामान्य वेक्टर के लिए $u$ और वास्तविक मैट्रिक्स $A$, इसलिये $$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$ किसी भी वास्तविक मैट्रिक्स के लिए $A$। एंटीसिमेट्रिक के लिए बाएं हाथ की तरफ शून्य है$A$।