एंबेडेड रिबन और नियमित आइसोटोप
मैं कॉफ़मैन के 1990 के पेपर "एन इनवेरिएंट ऑफ़ रेगुलर आइसोटोप" को उन गाँठों के बारे में पढ़ रहा हूँ जो केवल रिडेमिस्टर टाइप II और III चालों के माध्यम से समस्थानिक हैं, जिन्हें एक नियमित समस्थानिक के रूप में जाना जाता है। उनके कागज का दावा है कि नियमित समस्थानिक और एम्बेडेड बैंड के बीच एक संबंध है ($S^1 \times [0,1]$में) $S^3$। वह बर्ड्स नॉट्स पाठ्यपुस्तक को संदर्भित करता है, लेकिन मुझे नियमित समस्थानिक का कोई उल्लेख नहीं मिल सकता है, क्योंकि ऐसा लगता है कि बर्ड के पाठ लिखे जाने के बाद कॉफमैन ने उस वाक्यांश को कागज में गढ़ा।
मुझे लगता है कि समुद्री मील की एक नियमित समस्थानिक एक एम्बेडेड बैंड से मेल खाती है। हालाँकि, मुझे चिंता है कि एक विकृति हो सकती है जिसकी मैं देख रहा हूँ। क्या किसी के रिश्ते का सटीक बयान है?
जवाब
किसी भी गाँठ आरेख से, कोई "ब्लैकबोर्ड फ़्रेमिंग" लेकर एक फ़्रेमयुक्त गाँठ प्राप्त कर सकता है। गाँठ आरेखों के नियमित समस्थानिक की बात यह है कि यह इस ब्लैकबोर्ड फ्रेमिंग को संरक्षित करता है। चूंकि फ़्रेमयुक्त समुद्री मील और एम्बेडेड बैंड एक ही बात है, इसलिए नियमित रूप से समस्थानिक भी गाँठ आरेख के ब्लैकबोर्ड फ़्रेमिंग के अनुरूप एम्बेडेड बैंड को संरक्षित करेगा।
मुझे लगता है कि यह बर्दे में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है, शायद फ़्रेमयुक्त समुद्री मील के संदर्भ में। यह भी संभव है कि बर्ड फ़्रेमयुक्त समुद्री मील पर चर्चा न करें, क्योंकि मुझे लगता है कि जोन्स बहुपद / चेरॉन-सीमन्स TQFT की खोज के बाद लोगों को उनकी अधिक रुचि हो गई थी। और मैं मानता हूं: मुझे लगता है कि कॉफ़मैन ने "नियमित समस्थानिक" शब्द गढ़ा, इसलिए इसका उपयोग शायद बर्दे में नहीं किया जाता है।
यह एक उत्तर की तुलना में अधिक टिप्पणी है, लेकिन मुझे आशा है कि यह उपयोगी है। नियमित होमोटोपी की बहुत पुरानी और बेहतर अध्ययन की धारणा है । चलो$X$ तथा $Y$ कई गुना चिकनी हो और चलो $f,g\colon X \rightarrow Y$विसर्जन हो। फिर$f$ तथा $g$ नियमित रूप से होमोटोपिक हैं यदि वे विसर्जन के माध्यम से होमोटोपिक हैं।
आइए विसर्जन के नियमित होमोटोपी वर्गों पर ध्यान दें $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$। इस तरह के विसर्जन को आप एक गाँठ आरेख से प्राप्त करते हैं जो ओवर / अंडर क्रॉसिंग को भूलकर। यह देखना मुश्किल नहीं है कि अगर$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ नियमित रूप से अनुप्रस्थ स्व-चौराहों के साथ होमोटोपिक विसर्जन होते हैं, फिर $f$ में तब्दील किया जा सकता है $g$Reidemeister II / III चालों के स्पष्ट एनालॉग्स के अनुक्रम द्वारा। हालाँकि, आप एक रिडेमिस्टर का एक एनालॉग प्रदर्शन नहीं कर सकते हैं जो मैं उस समय से स्थानांतरित करता हूं जब आप अपने लूप को कस कर खींच लेते हैं व्युत्पन्न को गायब करना पड़ता है, इसलिए यह एक नियमित होमोटोपी नहीं है।
मेरा अनुमान है कि कौफमैन के बारे में यही सोच रहा था। वैसे, विसर्जन के नियमित होमोटोपी कक्षाएं$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है। इस तरह के विसर्जन के व्युत्पन्न लेने और व्युत्पन्न को इकाई की लंबाई बनाने के लिए rescaling से, आपको एक संबद्ध नक्शा मिलता है$S^1 \rightarrow S^1$। इस नक्शे की डिग्री को विसर्जन की डिग्री कहा जाता है, और व्हिटनी-ग्रेस्टीन प्रमेय का कहना है कि यह डिग्री पूरी तरह से अपरिवर्तनीय है। यह प्रमेय हिर्श-स्मेल विसर्जन प्रमेय का प्रारंभिक अग्रदूत है, जो विसर्जन के विशेष मामले के लिए है$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ इसमें स्मेल के प्रसिद्ध "गोले एक्सर्सिशन" शामिल हैं, जो गोले को अंदर-बाहर करते हैं।