गैर-बंद सतह पर दोहरे अभिन्न का मूल्यांकन कैसे करें?

Aug 16 2020

लश्कर $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ और जाने $S$ सतह बनो $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$। अगर$\hat{n}$ के लिए सामान्य इकाई है $S$ तथा $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ फिर $\alpha=?$

सतह एस बंद न होने के कारण हम यहां गाऊस डाइवरेज प्रमेय लागू नहीं कर सकते। इस सवाल में आगे कैसे बढ़ें? कृपया मदद करे।

जवाब

3 NinadMunshi Aug 16 2020 at 10:51

ध्यान दें कि सतह की सीमा वक्र है $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$स्टोक्स के प्रमेय द्वारा यदि दो सतहें एक ही सीमा साझा करती हैं तो दोनों सतहों पर कर्ल का अभिन्न समान होगा। अर्थात

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

दोनों या तो ऊपर या नीचे की ओर उन्मुख होते हैं।

यह जीवन को आसान क्यों बनाता है? शुरुआत के लिए, याकूब के बीच$z=0$ विमान और सामान्य $xy$ निर्देशांक है $1$ (खुद से खुद के लिए कुछ भी का याकूबियन है $1$) और सामान्य वेक्टर केवल इंगित करता है $z$ दिशा, जिसका अर्थ है कि हमें पूरे कर्ल की गणना भी नहीं करनी है, केवल $z$ घटक, जो है

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

यह हमें निम्नलिखित समानता प्रदान करता है

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ एक विषम कार्य है, इसलिए इसका अभिन्न डिस्क द्वारा गायब हो जाएगा $x$समरूपता। एकमात्र अभिन्न बायाँ एक स्थिरांक है, जो हमें सतही समय का क्षेत्र देता है जो कि निरंतर होता है:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

इस प्रकार $\alpha =2$