गिल्बर्ग और ट्रुडिंगर की किताब में मोजर इटरेशन के प्रमाण के बारे में संदेह

Question

मैं गिलबर्ग और ट्रुडिंगर के मोनोग्राफ में मोजर इटरेशन के बारे में प्रमेय 8.15 पढ़ रहा था। मैं दिए गए सबूत के सभी चरणों को समझता हूं, लेकिन मेरे पास निम्नलिखित संदेह हैं जो एक सावधानीपूर्वक पढ़ने से साफ नहीं हो सकते हैं।

1. लेखक, प्रमेय के लिए परिकल्पना के रूप में, कि आवश्यकता होती है $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ तथा $g\in L^{q/2}(\Omega)$ कुछ के लिए $q>n$ लेकिन ऐसा लगता है कि उन्होंने प्रमाण में इन तथ्यों का कहीं भी उपयोग नहीं किया है: क्या ऐसा है और यदि नहीं, तो इन तथ्यों का उपयोग किन चरणों में किया जाता है?

2. क्या प्रमेय विफल रहता है $q\le n$?

कृपया इस प्रमाण को पूरी तरह समझने में मेरी मदद करें।

यहाँ मैंने प्रमेय का एक स्नैपशॉट अपलोड किया है।

समीकरण 8.3

\ start {समीकरण} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {समीकरण} ।

समीकरण 8.30

\ start {समीकरण} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {समीकरण}

समीकरण 8.32

\ start \ समीकरण} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (- b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ _ {{}}

समीकरण 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

कोई मदद संकेत बहुत सराहना की जाएगी

Answer 1

यह निश्चित रूप से हालत की जरूरत है $f^i\in L^q(\Omega)$ तथा $g\in L^{q/2}(\Omega)$।

1. सबूत के दौरान, किसी को चुनना होगा $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(उपरोक्त समीकरण (8.37))। यह संभव है अगर और केवल अगर$q>\hat n$।

2. सामान्य रूप से प्रमेय के लिए विफल रहता है $q\leq n$। किसी से कुछ सुराग मिल सकता है$W^{2,p}$अण्डाकार समीकरणों का अनुमान। एक विशेष मामले के उलट,$f=0$ तथा $Lu=g$ साथ में $u=0$सीमा पर। $W^{2,p}$ मोटे तौर पर कहते हैं $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Sobolev एम्बेडिंग प्रमेय को याद करें, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ अगर $q>n$, जबकि यह सच नहीं है $q\leq n$।

एक प्रतिरूप के लिए, कोई एक तत्व ले सकता है $g\in W^{2,n/2}$ लेकिन में नहीं $g\not\in L^\infty(\Omega)$। फिर$$\Delta u=\Delta g$$ एक समाधान है $u$ जबकि (8.34) सही नहीं हो सकता।