है $(4+\sqrt{5})$ का एक प्रमुख आदर्श $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?
अभिन्न डोमेन पर विचार करें $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$। है$(4+\sqrt{5})$ का एक प्रमुख आदर्श $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?
मैं निम्नलिखित प्राथमिक तथ्यों को जानता हूं। हमारे पास {समीकरण} \ mathbb {Z} \ left [\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right] = \ बाएं \ {frac {m + n \ sqrt {5}} {{ 2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \ text {सम या दोनों विषम} \ सही \} हैं। \ अंत {} समीकरण
हर एक के लिए $\frac{m + n \sqrt{5}}{2} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$, हमेशा की तरह इसके मानदंड को परिभाषित करें: \ start {समीकरण} N \ left (\ frac {m + n \ sqrt {5}} {2} \ right) = \ frac {m ^ 2-5n ^ 2} {4}। \ end {समीकरण} तब से$m, n$दोनों सम या विषम हैं, यह देखना आसान है कि आदर्श एक पूर्णांक है। इस तथ्य से यह आसानी से देखा जाता है$\frac{m + n \sqrt{5}}{2}$ की एक इकाई है $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ यदि और केवल यदि $m^2 - 5n^2=4$ या $m^2 - 5n^2=-4$। अब कब से$N(4+\sqrt{5})=11$ हमें आसानी से मिल गया $4+\sqrt{5}$ का एक अप्रासंगिक तत्व है $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$। अगर$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ एक अद्वितीय कारक डोमेन था, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $(4+\sqrt{5})$ का एक प्रमुख आदर्श $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$। लेकिन मुझे नहीं पता कि क्या$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$एक अद्वितीय कारक डोमेन है। किसी को पता है अगर यह है?
आपका ध्यान देने के लिए अग्रिम धन्यवाद।
जवाब
कॉल $A = \mathbb Z \left[ \frac{1 + \sqrt 5}2\right]$। हम वह दिखा सकते हैं$A / (4+\sqrt 5) \cong \mathbb Z/11 \mathbb Z$, ताकि आदर्श $(4 + \sqrt 5)$ अधिकतम है।
जैसा $N(4 + \sqrt 5) = 11$, यह स्पष्ट है कि तत्वों $0, 1, \ldots, 10$ जोड़ीदार समरूप मोडुलो हैं $4 + \sqrt 5$।
का हर तत्व $A$ एक पूर्णांक modulo के अनुरूप है $4 + \sqrt 5$: वास्तव में, अगर यह फॉर्म का है $a + b \sqrt 5$ साथ में $a, b \in \mathbb Z$ हम एक से अधिक उपयुक्त पूर्णांक घटा सकते हैं $4 + \sqrt5$ में उतरना है $\mathbb Z$। अगर यह रूप का है$(a+b\sqrt5)/2$ साथ में $a, b$ विषम, हम घटा सकते हैं $$\frac{1 + \sqrt5}2 \cdot (4 + \sqrt5) = \frac{9 + 5\sqrt5}2$$ में उतरना है $\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt5$।
रिंग होमोमोर्फिज्म पर विचार करें $$\mathbb Z / (11) \to A / (4+\sqrt5) \,.$$ पहले अवलोकन से, यह इंजेक्शन है। दूसरे तक, यह विशेषण है।
संख्या क्षेत्र $K=\Bbb Q(\sqrt{5})$ क्लास नंबर एक है क्योंकि इसकी मिंकोव्स्की बाउंड संतुष्ट करती है $B_K<2$। इसलिए इसके पूर्णांक की अंगूठी$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ यहां तक कि एक पीआईडी और इसलिए एक यूएफडी है।
दूसरी ओर, यह देखने के लिए पर्याप्त है $\mathcal{O}_K/(4+\sqrt{5})$ एक क्षेत्र है, ताकि आदर्श $(4+\sqrt{5})$ प्रमुख है।
हाँ, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$एक यूएफडी है क्योंकि यह आदर्श-यूक्लिडियन है ।