है $(4+\sqrt{5})$ का एक प्रमुख आदर्श $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?
अभिन्न डोमेन पर विचार करें $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$। है$(4+\sqrt{5})$ का एक प्रमुख आदर्श $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?
मुझे जवाब नहीं पता है, इसलिए किसी भी मदद का स्वागत है।
ध्यान दें कि $4+\sqrt{5}$ का एक अप्रासंगिक तत्व है $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, इसके मानक के बाद से $N(4+\sqrt{5})=11$ एक अभाज्य संख्या है (यहाँ हमेशा की तरह $N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2$ हर एक के लिए $a, b \in \mathbb{Z}$)। किसी भी तरह$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ एक अद्वितीय फैक्टराइज़ेशन डोमेन नहीं है, क्योंकि इसे निम्न फैक्टरियों से आसानी से देखा जा सकता है $4=2 \cdot 2 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$। तो सवाल इतना तुच्छ नहीं है, कम से कम मेरे लिए!
जवाब
ध्यान दें कि $11=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})\in\langle 4+\sqrt{5}\rangle$, और इसलिए हमारे पास आइसोमॉर्फिज्म की श्रृंखला है $$\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5}\rangle}=\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5},11\rangle}\cong\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle t^2-5,4+t,11\rangle}.$$ इसके अलावा, $t^2-5=11-(4-t)(4+t)$, जहां $\langle t^2-5,4+t,11\rangle=\langle 4+t,11\rangle$, और इस प्रकार उपरोक्त अंगूठी $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\big/\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ वास्तव में isomorphic है $$\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle 4+t,11\rangle}\cong\frac{(\mathbb{Z}\big/11)[t]}{\langle \bar{4}+t\rangle}.$$ अभी, $\mathbb{Z}\big/11$ एक क्षेत्र है, इसलिए $(\mathbb{Z}/11)[t]$ एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और स्पष्ट रूप से $\bar{4}+t$ अतार्किक है - इस प्रकार प्राइम - इन $(\mathbb{Z}/11)[t]$। इसका मतलब यह है कि उपरोक्त रिंग एक डोमेन है, और इसी तरह$\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ वास्तव में एक प्रमुख आदर्श है $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$।