हल करना $x^3-3x^2+4x-12=0$ फैक्टरिंग के बिना (कार्डानो की विधि)

Aug 17 2020

सवाल: हल $$x^3-3x^2+4x-12=0$$ फैक्टरिंग का उपयोग किए बिना (कार्डानो की विधि?)

इसलिए मुझे सबसे पहले समीकरण को दबाना होगा ताकि मैं प्रतिस्थापन कर सकूं $x=z+1$। हम जानते हैं कि यह सबस्टेशन है क्योंकि यह फॉर्म का होना चाहिए$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$। यह तो हमें देता है

$$z^3+z-10=0$$

कार्डनो की विधि से, हम जानते हैं कि $p=1$ तथा $q=-10$। इस प्रकार हमारे पास है

$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$

इस प्रणाली को सुलझाने के लिए (मुझे विश्वास है) देता है $a$ देता है

$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$

$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$

इसलिए

$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$

मैंने इसे जितना हो सके उतना कम करने की कोशिश की है, लेकिन मैं किसी भी समाधान को प्राप्त नहीं कर सकता।

यदि मैं मूल समीकरण का कारक था, तो मुझे प्राप्त करना चाहिए

$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$

तो मैं अपनी गलती कहां कर रहा हूं?

जवाब

4 Anatoly Aug 17 2020 at 01:57

आपकी गणना सही है, लेकिन कार्डानो की विधि को पूरा करना आवश्यक है। एक बार गणना कर लें$a$ तथा $b$, उदास घन की जड़ें इस प्रकार हैं:

$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$

चूंकि आपके मामले में $a=1+2/\sqrt{3}$ तथा $b=1-2/\sqrt{3}$ (इन मूल्यों को प्राप्त करने के लिए इनकार करने की प्रक्रिया के लिए नीचे देखें), सूत्र देते हैं

$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$

जैसा $x=z+1$, आपके पास

$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$


संपादित करें: जैसा कि टिप्पणियों में सही ढंग से कहा गया है, कार्डानो की विधि को लागू करने में एक महत्वपूर्ण मुद्दा यह है कि, कुछ मामलों में, कुछ घन जड़ों से इनकार करने की आवश्यकता है। यह कभी-कभी काफी कठिन हो सकता है। कुछ विधियों को पहले टिप्पणियों में दिए गए लिंक में बताया गया है। मैं एक संभावित दृष्टिकोण का सुझाव दूंगा जो कभी-कभी फॉर्म के रेडिकैंड के लिए अच्छा काम करता है$J+K\sqrt{n}$। विधियों में ये चरण शामिल हैं:

  • फॉर्म में क्यूब रूट सेट करें $\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$, साथ से $J$ तथा $K$ पूर्णांक;

  • मान लें कि रेडिकैंड $A=J\pm K\sqrt{n}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $(j\pm k\sqrt{n})^3$, साथ से $j$ तथा $k$ भिन्नात्मक संख्याएं;

  • विस्तार के बाद $(j\pm k\sqrt{n})^3$ और इसकी शर्तों को दो समूहों में विभाजित किया गया है, जिनके रकम बराबर हैं $J$ तथा $K\sqrt{n}$, निर्धारित करने के लिए परिणामी समीकरणों का उपयोग करें $j/k$। यह लंबा कदम है, क्योंकि इसे तर्कसंगत मूल प्रमेय का उपयोग करके एक नए क्यूबिक समीकरण की तर्कसंगत जड़ों की खोज करने की आवश्यकता है, जो कभी-कभी मुश्किल हो सकती है;

  • अंत में, के मूल्यों का निर्धारण करें $j$ तथा $k$


इस पद्धति का बेहतर वर्णन करने के लिए, आइए हम इसे विशिष्ट मामले के लिए आज़माएँ $\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$ (उसी विधि का उपयोग उस मामले के लिए किया जा सकता है जहां रेडिकैंड है $5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$) का है। सबसे पहले, हमें रेडिकैंड सेट करना होगा ताकि$J$ तथा $K$ पूर्णांक हैं:

$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$

अब हम परिकल्पना करते हैं $A=(j+k\sqrt{3})^3$। इसलिए

$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$

ताकि हम लिख सकें

$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$

ध्यान दें कि $j$ तथा $k$दोनों को सकारात्मक होना चाहिए। हमारे ऊपर के दो समीकरणों से

$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$

हमें अब यह निर्धारित करने की कोशिश करनी होगी $j/k$। दोनों सदस्यों को विभाजित करना$k^3$ और एलएचएस के लिए सभी शर्तों को आगे बढ़ाते हुए, हमारे पास है

$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$

स्थापना $x=j/k$ और गुणांक को सरल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$

तर्कसंगत रूट प्रमेय का उपयोग करके, हम एक तर्कसंगत रूट की खोज कर सकते हैं $p/q$ अंतिम समीकरण के लिए, जहां पूर्णांक $p$ बांटता है $135=3^3\cdot 5$ और पूर्णांक $q$ बांटता है $26=2\cdot 13$। एक वास्तविक जड़ की खोज को तेज करने के लिए, यह देखा जा सकता है कि के लिए$x=1$ तथा $x=2$ LHS देता है $-10$ तथा $1$, क्रमशः, ताकि एक वास्तविक जड़ के बीच का मान होना चाहिए $1$ तथा $2$। कुछ परीक्षणों के बाद, हम आसानी से प्राप्त करते हैं$x=3/2$। समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$

जिससे हमें सीधे पता चलता है कि अन्य दो जड़ें वास्तविक नहीं हैं।

जबसे $x=j/k=3/2$, हम अंत में निर्धारित कर सकते हैं $j$ तथा $k$ स्थानापन्न बनाकर $k=2j/3$प्रारंभिक समीकरणों में। उदाहरण के लिए, समीकरण में प्रतिस्थापित$(j^2+9k^2)=135$, अपने पास

$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$

और याद दिलाता है कि $j$ तथा $k$ सकारात्मक हैं,

$$j=3$$

$$k=2$$

अब हम इसका निष्कर्ष निकाल सकते हैं

$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$

ताकि प्रारंभिक घन जड़ हो

$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$

फिर, यह बताया जाना चाहिए कि यह विधि केवल कुछ मामलों में काम करती है (भले ही तर्कसंगत हो $j$ तथा $k$ मौजूद है, सबसे महत्वपूर्ण सीमित कदम तर्कसंगत जड़ की खोज है $x$, जो पहले से ही बहुत कठिन हो सकता है)।

3 OscarLanzi Aug 17 2020 at 01:40

इसके अलावा बैक-प्रतिस्थापन $x=z+1$समाधान प्रक्रिया को पूरा करने के लिए, आप गलत नहीं हैं। Casus irreducibilis सामान्यतः तीन वास्तविक जड़ों के साथ घन समीकरणों के लिए वर्णन किया गया है, लेकिन एक ऐसी ही समस्या तब होती है जब आप एक तर्कसंगत जड़ है जब (और इस मामले में यह तीनों जड़ों होना जरूरी नहीं है)। वास्तव में, आप अपनी मौलिक अभिव्यक्ति को पुनः प्राप्त करने के लिए सरल नहीं कर सकते हैं$z=2$विश्लेषणात्मक रूप से; आपको पहले से तर्कसंगत रूट का अनुमान लगाना होगा (या किसी अन्य समान रूप से संरचित क्यूबिक समीकरण को शामिल करते हुए एक समान अनुमान बनाना चाहिए, जैसा कि दूसरे उत्तर में चर्चा की गई है)।

जब मैंने आपके लिए अपनी अभिव्यक्ति दी $z$ एक कैलकुलेटर में मुझे मिलता है $2.000000...$, जो आपके इच्छित मूल्य के बहुत करीब लगता है $z=2$