हमारे पास क्यों है? $\hbar$ कम्यूटेशन रिलेशन में?
आइए प्लैंक स्थिरांक को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र फैलाव संबंध के ढलान के रूप में मानते हैं, $E=\hbar \omega$। प्लैंक स्थिरांक इलेक्ट्रॉन आवेश से स्वतंत्र नहीं है, दोनों को तब तक रखा जा सकता है जब तक कि ठीक संरचना स्थिर नहीं रहती है। फिर भी, यह अक्सर दोनों का उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है।
जैसा कि हम QM सीखना शुरू करते हैं, QED में जाने से पहले, हमें सिखाया जाता है कि प्लैंक स्थिरांक बहु के रूप में दिखाई देता है $i$विहित परिमाणीकरण संबंध में। क्यों??
मुझे गलत मत समझो, मैं इस तथ्य से पूरी तरह से ठीक हूं कि यह थरथरानवाला के अध्ययन में दिखाई देता है। यह केवल एक परिमाणात्मक मात्रा हो सकती है जिसके संदर्भ में समान इकाइयाँ होने वाली अन्य मात्राएँ व्यक्त की जाती हैं।
लेकिन हमें आमतौर पर smth को बहुत अलग बताया जा रहा है। "इस संख्या की भावना में$\hbar$ में $[q,p]=i\hbar$ प्लैंक स्थिरांक है जिसका मूल्य है ..., और यह उस पैमाने को निर्धारित करता है जिस पर भौतिकी क्वांटम होने लगती है "।
QED के बिना एक ऐसी दुनिया की कल्पना करें, जिसमें केवल क्वार्क और ग्लून्स की जोरदार बातचीत हो। गुप्तचरों को पढ़ाते समय वे किस संख्या को कम्यूटेशन रिलेशन में डालते हैं?
जवाब
यह प्रश्न भौतिकी को पढ़ाने की मूलभूत चुनौतियों में से एक है। हमें सबसे पहले आसान चीजों को सीखने की जरूरत है, क्योंकि हम इंसान हैं, लेकिन यह उस क्रम में चीजों को सीखने की इच्छा के साथ सीधे संघर्ष में है जो तार्किक रूप से स्पष्ट है (सबसे पहले गहरी स्वयंसिद्धता है, और हमेशा के लिए उन सब कुछ प्राप्त करें)।
हम सीखते हैं $E=\hbar\omega$फोटॉनों के लिए पहले, क्योंकि यह आसान है। तब हम गैर-सापेक्ष क्यूएम सीखते हैं, और फिर हम क्यूईडी सीखते हैं। लेकिन एक ही निरंतर की उपस्थिति का कारण$\hbar$ दोनों मे $E=\hbar\omega$ (फोटोन के लिए) और में $[q,p]=i\hbar$ गैर-सापेक्ष क्यूएम (जिसमें फोटॉन नहीं है) क्यूईडी से आता है!
इस विशेष मामले के लिए, यहां एक संभावित समाधान है: छात्रों को यह जानने के बाद $E=\hbar\omega$फोटॉनों के लिए, यह इंगित करें कि यह एक संबंध का एक विशेष मामला है जो सभी द्रव्यमान के कणों के लिए काम करता है, न कि केवल सामूहिक। विशेष रूप से, एक ही संबंध गैर-सापेक्ष क्यूएम में बड़े पैमाने पर कणों के लिए होता है। अब, गैर-सापेक्ष क्यूएम के बारे में कुछ मूल बातें पेश करने के बाद, हम घोषणा कर सकते हैं कि कारक$\hbar$ वास्तव में कम्यूटेशन रिलेशनशिप से आता है, और फिर हम उन्हें दिखा सकते हैं कि रिऐक्शन कैसे प्राप्त करें $E=\hbar\omega$ उस गहरे कारण से (बड़े पैमाने पर कणों के लिए)।
जब तक छात्र गैर-सापेक्ष क्यूएम सीखने के लिए तैयार होते हैं, तब तक उन्हें पहले से ही सामान्य तथ्य से परिचित होना चाहिए कि आसान-चीजें-पहला अनुक्रम अक्सर तार्किक-स्पष्ट अनुक्रम से भिन्न होता है, इसलिए उन्हें अपने को फिर से व्यवस्थित करने के लिए खुला होना चाहिए जब वे गैर-सापेक्षवादी क्यूएम सीखते हैं, तो प्लैंक के निरंतर "कहां से" के बारे में देखें। और एक बार छात्र यह देखें कि इसका कारक कैसे है$\hbar$ में $E=\hbar\omega$ गैर-सापेक्ष क्यूएम में कम्यूटेशन संबंधों से उत्पन्न होता है, उन्हें इस विचार के लिए खुला होना चाहिए कि कुछ समान रूप से अधिक सच हो सकता है, इसलिए उन्हें इस तरह एक बयान के लिए खुला होना चाहिए:
बाद में, जब आप सापेक्ष क्यूईडी के बारे में सीखते हैं, तो आप उस संबंध को देखेंगे $E=\hbar\omega$ फोटॉनों के लिए इसका कारक मिलता है $\hbar$ एक ही स्रोत से: कम्यूटेशन रिलेशनशिप।
यह एक सही समाधान नहीं है, क्योंकि छात्र मान सकते हैं कि "कम्यूटेशन रिलेशनशिप" का अर्थ "ऑब्जर्वेबल पोजिशन और मोमेंटम ऑब्जर्वेबल के बीच" है, जो QED में असत्य है। उस समस्या का एक आसान समाधान भी है, हालांकि, मानक पाठ्यक्रम से अजीब तरह से गायब है: गैर-सापेक्ष क्यूएम को पढ़ाने के बाद और क्यूईडी को पढ़ाने से पहले, गैर-सापेक्ष क्यूटीएफ सिखाएं! गैर-सापेक्षवादी QFT कई कारणों से एक महान शैक्षणिक पुल है, और यह उन कारणों में से एक है। गैर-सापेक्षतावादी क्यूएफटी का उपयोग करना, जहां गणित आसान है, हम छात्रों को दिखा सकते हैं कि क्षेत्र-क्षेत्र के कम्यूटेशन संबंध क्षेत्र-क्षेत्र के संबंध संबंध से कैसे उत्पन्न होते हैं। वहाँ से, यह सीखते हुए कि हम सापेक्षता मामले में एक सख्त स्थिति ऑपरेटर का निर्माण क्यों नहीं कर सकते हैं - और क्यों हम अभी भी प्राप्त कर सकते हैं$E=\hbar\omega$ सीधे फील्ड-फील्ड कम्यूटेशन रिलेशन से - अपेक्षाकृत आसान वैचारिक कदम होना चाहिए।
यह विशेष रूप से QED पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी की सामान्य संपत्ति का एक परिणाम है कि गति स्थिति का फूरियर संयुग्म है, या वैकल्पिक रूप से श्रोडिंगर समीकरण के समाधान से। प्राकृतिक इकाइयों में फूरियर रूपांतरण शब्द होता है$e^{ix\cdot p}$। यह निम्नानुसार है कि संवेग की प्राकृतिक इकाइयाँ 1 / [लंबाई] होती हैं, और इसी तरह ऊर्जा की प्राकृतिक इकाइयाँ 1 / [समय] होती हैं। जैसे सापेक्षता से पता चलता है कि दूरी की प्राकृतिक इकाई समय की इकाई के समान है ($c=1$), क्वांटम यांत्रिकी से पता चलता है कि ऊर्जा की प्राकृतिक इकाइयाँ हैं $\mathrm s^-1$। दूसरे शब्दों में,$\hbar$बस प्राकृतिक इकाइयों और ऊर्जा (या द्रव्यमान) के बीच एक रूपांतरण स्थिरांक है। यह प्लांक की स्थिरांक के संदर्भ में किलोग्राम की वर्तमान एसआई परिभाषा में परिलक्षित होता है ।